如图所示，作点$O$关于$AB$的对称点${B\’}$，连接$CB\’$交$AB$于点${P\’}$，

$\because$线段$AB$所在直线的解析式为$y=-x+4$，

当$x=0$时，$y=4$，

当$y=0$时，$x=4$，

$\therefore AO=BO=4$，

$\therefore AB$，$OB\’$相互垂直平分，

$\therefore$四边形$AOBB\’$是正方形，

$\therefore$点${B\’}\left(4,4\right)$，

$\because$点$C\left(0,2\right)$，

$\therefore PO+PC$的最小值为$CB\’=\sqrt{{4}^{2}+(4-2{)}^{2}}=2\sqrt{5}$.

故答案为：$2\sqrt{5}$.

作点$B$关于$AC$的对称点${B\’}$，连接$EB\’$交$AC$于点${P\’}$，$PB+PE$的最小值为$EB\’$，分别求出点$A$，$C$的坐标，证明四边形$ABCB\’$是正方形即可求出点${B\’}$的坐标，即可求出$EB\’$的长度.

【点评】

本题考查一次函数的性质，解题的关键是利用一次函数的解析式求出点$A$，$C$的坐标.

如图所示，作点$O$关于$AB$的对称点${B\’}$，连接$CB\’$交$AB$于点${P\’}$，

$\because$线段$AB$所在直线的解析式为$y=-x+4$，

当$x=0$时，$y=4$，

当$y=0$时，$x=4$，

$\therefore AO=BO=4$，

$\therefore AB$，$OB\’$相互垂直平分，

$\therefore$四边形$AOBB\’$是正方形，

$\therefore$点${B\’}\left(4,4\right)$，

$\because$点$C\left(0,2\right)$，

$\therefore PO+PC$的最小值为$CB\’=\sqrt{{4}^{2}+(4-2{)}^{2}}=2\sqrt{5}$.

故答案为：$2\sqrt{5}$.

作点$B$关于$AC$的对称点${B\’}$，连接$EB\’$交$AC$于点${P\’}$，$PB+PE$的最小值为$EB\’$，分别求出点$A$，$C$的坐标，证明四边形$ABCB\’$是正方形即可求出点${B\’}$的坐标，即可求出$EB\’$的长度.

【点评】

本题考查一次函数的性质，解题的关键是利用一次函数的解析式求出点$A$，$C$的坐标.