（1）依题意，
$y=-x^{2}-4x+5=-(x^{2}+4x+4-4)+5=-\left(x+2\right)^{2}+9$，
$\therefore$函数的顶点坐标$\left(-2,9\right)$；
$(2)$依题意，
$\because y=-x^{2}-4x+5=-\left(x+2\right)^{2}+9$，
$\therefore$函数的对称轴是直线$x=-2$，
$x=-5$和$x=1$关于对称轴直线$x=-2$对称，
以及$x=-4$和$x=0$关于对称轴直线$x=-2$对称，
$\therefore$当$x=0$，则$y=5$；当$x=1$，则$y=0$，
补全表格，

$x$	$\ldots \ldots$	$-5$	$-4$	$-2$	$0$	$1$	$\ldots \ldots$
$y$	$\ldots \ldots$	$0$	$5$	$9$	$5$	$0$	$\ldots \ldots$

并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象.如图所示：

$(3)$根据图象回答下列问题：
①当$x \gt -2$时，$y$随$x$的增大而减小；
②当$x=-2$时，函数$y$有最大值，是$9$；
③当$y \gt 0$时，$x$的取值范围是$-5 \lt x \lt 1$；
④当$-5 \lt x \lt 0$时，$y_{最大值}=9$，
当$x=-5$，则$y=0$；当$x=0$，则$y=5$；
当$-5 \lt x \lt 0$时，$y$的取值范围是$0 \lt y\leqslant 9$.

（1）依题意，
$y=-x^{2}-4x+5=-(x^{2}+4x+4-4)+5=-\left(x+2\right)^{2}+9$，
$\therefore$函数的顶点坐标$\left(-2,9\right)$；
$(2)$依题意，
$\because y=-x^{2}-4x+5=-\left(x+2\right)^{2}+9$，
$\therefore$函数的对称轴是直线$x=-2$，
$x=-5$和$x=1$关于对称轴直线$x=-2$对称，
以及$x=-4$和$x=0$关于对称轴直线$x=-2$对称，
$\therefore$当$x=0$，则$y=5$；当$x=1$，则$y=0$，
补全表格，

$x$	$\ldots \ldots$	$-5$	$-4$	$-2$	$0$	$1$	$\ldots \ldots$
$y$	$\ldots \ldots$	$0$	$5$	$9$	$5$	$0$	$\ldots \ldots$

并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象.如图所示：

$(3)$根据图象回答下列问题：
①当$x \gt -2$时，$y$随$x$的增大而减小；
②当$x=-2$时，函数$y$有最大值，是$9$；
③当$y \gt 0$时，$x$的取值范围是$-5 \lt x \lt 1$；
④当$-5 \lt x \lt 0$时，$y_{最大值}=9$，
当$x=-5$，则$y=0$；当$x=0$，则$y=5$；
当$-5 \lt x \lt 0$时，$y$的取值范围是$0 \lt y\leqslant 9$.