$\left(1\right)x^{2}-15x-34=\left(x+2\right)\left(x-17\right)$，

故答案为：$x-17$；

$(2)$设另一个因式为$\left(x+a\right)$，则$x^{2}+mx-24=\left(x+6\right)\left(x+a\right)$，

即${x}^{2}+mx-24={x}^{2}+\left(a+6\right)x+6a($对任意实数$x$成立），

由此得：$\left\{\begin{array}{l}a+6=m\\ 6a=-24\end{array}\right.$，

$\therefore a=-4$；$m=2$；

故答案为：$2$；

$(3)$设另一个因式为$\left(x+a\right)$，则$x^{3}-3x^{2}+k=\left(x-2\right)^{2}(x+a)$，

即$x^{3}-3x^{2}+k=(x^{2}-4x+4)\left(x+a\right)=x^{3}+\left(a-4\right)x^{2}+\left(4-4a\right)x+4a($对任意实数$x$成立)。

由此得：$\left\{\begin{array}{l}{a-4=-3}\\{4-4a=0}\\{4a=k}\end{array}\right.$，

$\therefore a=1$，$k=4$.

$\left(1\right)x^{2}-15x-34=\left(x+2\right)\left(x-17\right)$，

故答案为：$x-17$；

$(2)$设另一个因式为$\left(x+a\right)$，则$x^{2}+mx-24=\left(x+6\right)\left(x+a\right)$，

即${x}^{2}+mx-24={x}^{2}+\left(a+6\right)x+6a($对任意实数$x$成立），

由此得：$\left\{\begin{array}{l}a+6=m\\ 6a=-24\end{array}\right.$，

$\therefore a=-4$；$m=2$；

故答案为：$2$；

$(3)$设另一个因式为$\left(x+a\right)$，则$x^{3}-3x^{2}+k=\left(x-2\right)^{2}(x+a)$，

即$x^{3}-3x^{2}+k=(x^{2}-4x+4)\left(x+a\right)=x^{3}+\left(a-4\right)x^{2}+\left(4-4a\right)x+4a($对任意实数$x$成立)。

由此得：$\left\{\begin{array}{l}{a-4=-3}\\{4-4a=0}\\{4a=k}\end{array}\right.$，

$\therefore a=1$，$k=4$.