证明：（1）假设没有$3$所学校得到相同的名额，而每校至少要有$1$名，
则人数最少的分配方案是：每两所学校一组依次各得$1$，$2$，$3$，$4$，$5$个名额，
那么总人数为$2\times \left(1+2+3+4+5\right)=2\times 15=30(名)$，
这与只有$29$个名额矛盾，
故不管如何分配，都至少有$3$所学校分得的名额相同；
$(2)$假设每所学校分得的名额都不超过$4$，并且每校的名额不少于$1$，
那么分到相同名额的学校少于$4$所的条件下，$10$所学校派出的选手数最多不会超过$3\times 4+3\times 3+3\times 2+1\times 1=12+9+6+1=28(名)$，
这与选手总数是$29$名矛盾，
故至少有一所学校派出的选手数不小于$5$.

证明：（1）假设没有$3$所学校得到相同的名额，而每校至少要有$1$名，
则人数最少的分配方案是：每两所学校一组依次各得$1$，$2$，$3$，$4$，$5$个名额，
那么总人数为$2\times \left(1+2+3+4+5\right)=2\times 15=30(名)$，
这与只有$29$个名额矛盾，
故不管如何分配，都至少有$3$所学校分得的名额相同；
$(2)$假设每所学校分得的名额都不超过$4$，并且每校的名额不少于$1$，
那么分到相同名额的学校少于$4$所的条件下，$10$所学校派出的选手数最多不会超过$3\times 4+3\times 3+3\times 2+1\times 1=12+9+6+1=28(名)$，
这与选手总数是$29$名矛盾，
故至少有一所学校派出的选手数不小于$5$.