A

$\frac{{x}^{2}-4}{x-3}÷\frac{□}{{x}^{2}-9}$
$=\frac{(x+2)(x-2)}{x-3}÷\frac{□}{(x+3)(x-3)}$
$=\frac{(x+2)(x-2)}{x-3}×\frac{(x+3)(x-3)}{□}$
$=\frac{(x+2)(x-2)(x+3)}{□}$，
$\because$该题的化简结果为整式，
$\therefore A$.当$\square$表示$x-3$时，原式为$=\frac{(x+2)(x-2)(x+3)}{x-3}$，不是整式，该选项符合题意；
$B$.当$\square$表示$x-2$时，原式为$=\frac{(x+2)(x-2)(x+3)}{x-2}=(x+2)(x+3)=x^{2}+5x+6$，是整式，该选项不符合题意；
$C$.当$\square$表示$x+3$时，原式为$=\frac{(x+2)(x-2)(x+3)}{x+3}=(x+2)(x-2)={x}^{2}-4$，是整式，该选项不符合题意；
$D$、当$\square$表示$x+2$时，原式为$=\frac{(x+2)(x-2)(x+3)}{x+2}=(x-2)(x+3)={x}^{2}+x-6$，是整式，该选项不符合题意.
故选：$A$.