（1）$\left\{\begin{array}{l}{a-b=1+3m①}\\{a+b=-7-m②}\end{array}\right.$，
$($①$+$②$)\div 2$得：$a=m-3$③，
将③代入②得：$-3+m+b=-7-m$，
解得：$b=-2m-4$，
$\therefore$方程组$\left\{\begin{array}{l}a-b=1+3m\\ a+b=-7-m\end{array}\right.$的解为$\left\{\begin{array}{l}{a=m-3}\\{b=-2m-4}\end{array}\right.$.
$\because a$为负数，$b$为非正数，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{m-3＜0}\\{-2m-4≤0}\end{array}\right.$，
解得：$-2\leqslant m \lt 3$，
$\therefore m$的取值范围为$-2\leqslant m \lt 3$；
$(2)\because 2mx+x \lt 2m+1$，
$\therefore \left(2m+1\right)x \lt 2m+1$.
$\because$不等式$2mx+x \lt 2m+1$的解集为$x \gt 1$，
$\therefore 2m+1 \lt 0$，
$\therefore m \lt -\frac{1}{2}$，
$\because -2\leqslant m \lt 3$，
$\therefore -2\leqslant m \lt -\frac{1}{2}$，
$\therefore m=-1$或$m=-2$，
$\therefore$当$m$为$-2$或$-1$时，不等式$2mx+x \lt 2m+1$的解集为$x \gt 1$.

（1）$\left\{\begin{array}{l}{a-b=1+3m①}\\{a+b=-7-m②}\end{array}\right.$，
$($①$+$②$)\div 2$得：$a=m-3$③，
将③代入②得：$-3+m+b=-7-m$，
解得：$b=-2m-4$，
$\therefore$方程组$\left\{\begin{array}{l}a-b=1+3m\\ a+b=-7-m\end{array}\right.$的解为$\left\{\begin{array}{l}{a=m-3}\\{b=-2m-4}\end{array}\right.$.
$\because a$为负数，$b$为非正数，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{m-3＜0}\\{-2m-4≤0}\end{array}\right.$，
解得：$-2\leqslant m \lt 3$，
$\therefore m$的取值范围为$-2\leqslant m \lt 3$；
$(2)\because 2mx+x \lt 2m+1$，
$\therefore \left(2m+1\right)x \lt 2m+1$.
$\because$不等式$2mx+x \lt 2m+1$的解集为$x \gt 1$，
$\therefore 2m+1 \lt 0$，
$\therefore m \lt -\frac{1}{2}$，
$\because -2\leqslant m \lt 3$，
$\therefore -2\leqslant m \lt -\frac{1}{2}$，
$\therefore m=-1$或$m=-2$，
$\therefore$当$m$为$-2$或$-1$时，不等式$2mx+x \lt 2m+1$的解集为$x \gt 1$.