$\because$抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-2$，
$\therefore 4a-b=0$，所以①正确；
$\because$与$x$轴的一个交点在$\left(-3,0\right)$和$\left(-4,0\right)$之间，
$\therefore$由抛物线的对称性知，另一个交点在$\left(-1,0\right)$和$\left(0,0\right)$之间，
$\therefore x=-1$时，$y \gt 0$，且$b=4a$，
即$a-b+c=a-4a+c=-3a+c \gt 0$，
$\therefore c \gt 3a$，所以②错误；
$\because$抛物线与$x$轴有两个交点，且顶点为$\left(-2,3\right)$，
$\therefore$抛物线与直线$y=2$有两个交点，
$\therefore$关于$x$的方程$ax^{2}+bx+c=2$有两个不相等实数根，所以③正确；
$\because$抛物线的顶点坐标为$\left(-2,3\right)$，
$\therefore \frac{4ac-{b}^{2}}{4a}=3$，
$\therefore b^{2}+12a=4ac$，
$\because 4a-b=0$，
$\therefore b=4a$，
$\therefore b^{2}+3b=4ac$，
$\because a \lt 0$，
$\therefore b=4a \lt 0$，
$\therefore b^{2}+2b \gt 4ac$，所以④正确；
故答案为①③④.

$\because$抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-2$，
$\therefore 4a-b=0$，所以①正确；
$\because$与$x$轴的一个交点在$\left(-3,0\right)$和$\left(-4,0\right)$之间，
$\therefore$由抛物线的对称性知，另一个交点在$\left(-1,0\right)$和$\left(0,0\right)$之间，
$\therefore x=-1$时，$y \gt 0$，且$b=4a$，
即$a-b+c=a-4a+c=-3a+c \gt 0$，
$\therefore c \gt 3a$，所以②错误；
$\because$抛物线与$x$轴有两个交点，且顶点为$\left(-2,3\right)$，
$\therefore$抛物线与直线$y=2$有两个交点，
$\therefore$关于$x$的方程$ax^{2}+bx+c=2$有两个不相等实数根，所以③正确；
$\because$抛物线的顶点坐标为$\left(-2,3\right)$，
$\therefore \frac{4ac-{b}^{2}}{4a}=3$，
$\therefore b^{2}+12a=4ac$，
$\because 4a-b=0$，
$\therefore b=4a$，
$\therefore b^{2}+3b=4ac$，
$\because a \lt 0$，
$\therefore b=4a \lt 0$，
$\therefore b^{2}+2b \gt 4ac$，所以④正确；
故答案为①③④.