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八年级数学解答题一般
题目
如图,在等边△ABC\triangle ABC中,点DD、EE分别是ABAB、ACAC上的点,BD=AEBD=AE,连结BEBE与CDCD交于点OO,以OCOC为一边作等边△OCF\triangle OCF.
(1)(1)若∠ACD=40∘\angle ACD=40^{\circ},试求∠BCF\angle BCF的度数；
(2)(2)连结AFAF,求证:AF=BOAF=BO；
(3)(3)若点GG是BCBC的中点,连结AOAO、GOGO,试判断AOAO与GOGO有什么数量关系?并说明理由.
知识点：全等三角形的性质、全等三角形的判定、等边三角形的性质、勾股定理、正方形的性质章节：第21章 四边形 / 21.3 特殊的平行四边形 / 21.3.3 正方形

答案与解析

答案

(1)(1)∵△ABC\because \triangle ABC和△OCF\triangle OCF是等边三角形，
∴∠ACB=∠FCO=60∘\therefore \angle ACB=\angle FCO=60^{\circ}，
∴∠FCA=∠FCO−∠ACD=60∘−40∘=20∘\therefore \angle FCA=\angle FCO-\angle ACD=60^{\circ}-40^{\circ}=20^{\circ}，
∴∠BCF=∠FCA+∠ACB=20∘+60∘=80∘\therefore \angle BCF=\angle FCA+\angle ACB=20^{\circ}+60^{\circ}=80^{\circ}；
(2)(2)证明：如图11，

∵△ABC\because \triangle ABC和△OCF\triangle OCF是等边三角形，
∴CF=CO\therefore CF=CO，CA=CBCA=CB，∠FCO=∠COF=∠ACB=60∘\angle FCO=\angle COF=\angle ACB=60^{\circ}，
∴∠FCO−∠ACD=∠ACB−∠ACD\therefore \angle FCO-\angle ACD=\angle ACB-\angle ACD，
即∠FCA=∠OCB\angle FCA=\angle OCB，
在△CFA\triangle CFA和△COB\triangle COB中，
{CF=CO∠FCA=∠OCBCA=CB\left\{\begin{array}{l}{CF=CO}\\{∠FCA=∠OCB}\\{CA=CB}\end{array}\right.，
∴△CFA\therefore \triangle CFA≌△COB(SAS)\triangle COB\left(SAS\right)，
∴AF=BO\therefore AF=BO；
(3)(3)AO=2OGAO=2OG，理由如下：
如图22，延长OGOG到RR，使得GR=GOGR=GO，连接CRCR，BRBR.

∵\because点GG是BCBC的中点，
∴CG=BG\therefore CG=BG，
在△CGO\triangle CGO和△BGR\triangle BGR中，
{CG=BG∠CGO=∠BGRGO=GR\left\{\begin{array}{l}{CG=BG}\\{∠CGO=∠BGR}\\{GO=GR}\end{array}\right.，
∴△CGO\therefore \triangle CGO≌△BGR(SAS)\triangle BGR\left(SAS\right)，
∴CO=BR=OF\therefore CO=BR=OF，∠GCO=∠GBR\angle GCO=\angle GBR，
∴CO\therefore CO∥BRBR，
由（2）可知,△FCA,\triangle FCA≌△OCB\triangle OCB，
∴∠AFC=∠BOC=180∘−60∘=120∘\therefore \angle AFC=\angle BOC=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}，
∵∠CFO=∠COF=60∘\because \angle CFO=\angle COF=60^{\circ}，
∴∠AFO=∠COF=60∘\therefore \angle AFO=\angle COF=60^{\circ}，
∴AF\therefore AF∥COCO，
∴AF\therefore AF∥BRBR，
∴∠AFO=∠OBR\therefore \angle AFO=\angle OBR，
在△AFO\triangle AFO和△OBR\triangle OBR中，
{AF=OB∠AFO=∠OBROF=RB\left\{\begin{array}{l}{AF=OB}\\{∠AFO=∠OBR}\\{OF=RB}\end{array}\right.，
∴△AFO\therefore \triangle AFO≌△OBR(SAS)\triangle OBR\left(SAS\right)，
∴OA=OR\therefore OA=OR，
∵OR=2OG\because OR=2OG，
∴OA=2OG\therefore OA=2OG.

解析

(1)(1)∵△ABC\because \triangle ABC和△OCF\triangle OCF是等边三角形，
∴∠ACB=∠FCO=60∘\therefore \angle ACB=\angle FCO=60^{\circ}，
∴∠FCA=∠FCO−∠ACD=60∘−40∘=20∘\therefore \angle FCA=\angle FCO-\angle ACD=60^{\circ}-40^{\circ}=20^{\circ}，
∴∠BCF=∠FCA+∠ACB=20∘+60∘=80∘\therefore \angle BCF=\angle FCA+\angle ACB=20^{\circ}+60^{\circ}=80^{\circ}；
(2)(2)证明：如图11，

∵△ABC\because \triangle ABC和△OCF\triangle OCF是等边三角形，
∴CF=CO\therefore CF=CO，CA=CBCA=CB，∠FCO=∠COF=∠ACB=60∘\angle FCO=\angle COF=\angle ACB=60^{\circ}，
∴∠FCO−∠ACD=∠ACB−∠ACD\therefore \angle FCO-\angle ACD=\angle ACB-\angle ACD，
即∠FCA=∠OCB\angle FCA=\angle OCB，
在△CFA\triangle CFA和△COB\triangle COB中，
{CF=CO∠FCA=∠OCBCA=CB\left\{\begin{array}{l}{CF=CO}\\{∠FCA=∠OCB}\\{CA=CB}\end{array}\right.，
∴△CFA\therefore \triangle CFA≌△COB(SAS)\triangle COB\left(SAS\right)，
∴AF=BO\therefore AF=BO；
(3)(3)AO=2OGAO=2OG，理由如下：
如图22，延长OGOG到RR，使得GR=GOGR=GO，连接CRCR，BRBR.

∵\because点GG是BCBC的中点，
∴CG=BG\therefore CG=BG，
在△CGO\triangle CGO和△BGR\triangle BGR中，
{CG=BG∠CGO=∠BGRGO=GR\left\{\begin{array}{l}{CG=BG}\\{∠CGO=∠BGR}\\{GO=GR}\end{array}\right.，
∴△CGO\therefore \triangle CGO≌△BGR(SAS)\triangle BGR\left(SAS\right)，
∴CO=BR=OF\therefore CO=BR=OF，∠GCO=∠GBR\angle GCO=\angle GBR，
∴CO\therefore CO∥BRBR，
由（2）可知,△FCA,\triangle FCA≌△OCB\triangle OCB，
∴∠AFC=∠BOC=180∘−60∘=120∘\therefore \angle AFC=\angle BOC=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}，
∵∠CFO=∠COF=60∘\because \angle CFO=\angle COF=60^{\circ}，
∴∠AFO=∠COF=60∘\therefore \angle AFO=\angle COF=60^{\circ}，
∴AF\therefore AF∥COCO，
∴AF\therefore AF∥BRBR，
∴∠AFO=∠OBR\therefore \angle AFO=\angle OBR，
在△AFO\triangle AFO和△OBR\triangle OBR中，
{AF=OB∠AFO=∠OBROF=RB\left\{\begin{array}{l}{AF=OB}\\{∠AFO=∠OBR}\\{OF=RB}\end{array}\right.，
∴△AFO\therefore \triangle AFO≌△OBR(SAS)\triangle OBR\left(SAS\right)，
∴OA=OR\therefore OA=OR，
∵OR=2OG\because OR=2OG，
∴OA=2OG\therefore OA=2OG.

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