B

连接$CH$并延长交$AD$于$M$，过$E$作$EN\bot DA$交$DA$延长线于$N$，
$\because E$是边$AB$的中点，$AB=6$，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AB=3$，
$\because \angle BAD=120^{\circ}$，
$\therefore \angle EAN=180^{\circ}-\angle BAD=60^{\circ}$，
$\therefore AN=\frac{1}{2}AE=\frac{3}{2}$，
$\therefore EN=\sqrt{3}AN=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD$∥$CB$，$AD=BC=8$，
$\therefore \angle MDH=\angle CFH$，$\angle DMH=\angle FCH$，
$\because FH=DH$，
$\therefore \triangle DMH$≌$\triangle CFH\left(AAS\right)$，
$\therefore DM=FC$，$CH=MH$，
$\because F$是$BC$中点，$BC=8$，
$\therefore CF=\frac{1}{2}BC=4$，
$\therefore DM=4$，
$\therefore AM=AD-DM=8-4=4$，
$\therefore MN=AM+AN=4+\frac{3}{2}=\frac{11}{2}$，
$\therefore ME=\sqrt{MN^{2}+NE^{2}}=\sqrt{37}$，
$\because CH=MH$，$CG=EG$，
$\therefore GH$是$\triangle CEM$的中位线，
$\therefore GH=\frac{1}{2}EM=\frac{\sqrt{37}}{2}$.
故选：$B$.