连接$FG$并延长交$AD$于$M$，连接$EH$并延长交$DC$于点$N$，由于$G$、$F$各是中点，

所以$GF\bot AD$，$M$是$AD$的中点，
同理可证$EN\bot CD$，$N$是$CD$的中点，
则$EN$垂直平分$MF$，$P$是$EN$、$MF$的中点，
由中位线定理可得$NC=2PG=\sqrt{2}$，$MD=2PH=\sqrt{2}$，$MD=NC$，
则$PH=PG=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以$\triangle PHG$是等腰直角三角形，
则$GH=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \sqrt{2}=1$.
故答案为：$1$.

连接$FG$并延长交$AD$于$M$，连接$EH$并延长交$DC$于点$N$，由于$G$、$F$各是中点，

所以$GF\bot AD$，$M$是$AD$的中点，
同理可证$EN\bot CD$，$N$是$CD$的中点，
则$EN$垂直平分$MF$，$P$是$EN$、$MF$的中点，
由中位线定理可得$NC=2PG=\sqrt{2}$，$MD=2PH=\sqrt{2}$，$MD=NC$，
则$PH=PG=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以$\triangle PHG$是等腰直角三角形，
则$GH=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \sqrt{2}=1$.
故答案为：$1$.