C

连接$CH$并延长交$AD$于$P$，连接$PE$，
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore \angle A=90^{\circ}$，$AD$∥$BC$，
$\because E$，$F$分别是边$AB$，$BC$的中点，$AB=6$，$BC=10$，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times 6=3$，$CF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$，
$\because AD$∥$BC$，
$\therefore \angle DPH=\angle FCH$，
在$\triangle PDH$与$\triangle CFH$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPH=∠FCH}\\{∠DHP=∠PHC}\\{DH=FH}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle PDH$≌$\triangle CFH\left(AAS\right)$，
$\therefore PD=CF=5$，$CH=PH$，
$\therefore AP=AD-PD=5$，
$\therefore PE=\sqrt{A{P}^{2}+A{E}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{34}$，
$\because$点$G$是$EC$的中点，
$\therefore GH=\frac{1}{2}EP=\frac{\sqrt{34}}{2}$
故选：$C$.