A

$\because$一次函数$y=x+m$的图象与$x$轴交于点$\left(-3,0\right)$，且$y$随$x$的增大而增大，
当$x \gt -3$时，$y \gt 0$，即$x+m \gt 0$，
$\therefore$不等式$x+m \gt 0$的解为$x \gt -3$.
故选：$A$.