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八年级数学解答题中等
题目
营口素有“辽河明珠”之称,物产丰饶。某经销商欲购进两种本地特产:营口大米(甲产品)与营口海蜇(乙产品);销往外地。两种产品的售价及进价信息如下:营口大米(甲产品):售价10元/kg,进价6元/kg。营口海蜇(乙产品):售价18元/kg。乙产品进货总金额y(单位:元)与进货量x(单位:kg)之间的关系如图所示。根据以上信息,回答下列问题:
(1)求 y 关于 x 的函数解析式.
(2)恰逢丰收季,该经销商计划购进这两种产品共5000kg,并能全部售出。为确保品质与市场供应,乙产品(海蜇)的进货量不低于1000kg,且不高于甲产品(大米)进货量的1.5倍。设销售完这两种产品所获总利润为w(单位:元),请求出w关于x的函数解析式,并为该经销商设计出获得最大总利润的进货方案。
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第20题图
知识点:分段函数、一次函数的应用、实际问题的最值章节:第4章 一次函数 / 4.4 一次函数的应用

答案与解析

答案

(1)如图所示:当 0x<5000 \leq x < 500 时,设 y 关于 x 的解析式为 y = kx
(500,7500)(500,7500)代入y=kx,得此时y关于x的解析式y=15x
500x500\leq x时,设y关于x的解析式为 y=kx+by=kx+b
(500,7500)(500,7500)(2000,24000)(2000,24000)分别代入 y=kx+by=kx+b,……2分
解得,此时y关于x的解析式 y=11x+2000y=11x+2000
综上所述,y关于x的函数解析式为:
{y=15xy=11x+2000(0x<500)\left\{\begin{aligned}y&=15x\\ y&=11x+2000\end{aligned}\right.\quad\left(0\leq x<500\right) ……4分

(2)由题意得总进货量5000kg,其中海蜇xkg,则大米买入(5000-x)kg,
设总利润为 w,则 w 关于 x 的解析式为 w=(7x2000)+(200004x)=3x+18000w=(7x-2000)+(20000-4x)=3x+18000
又$\because\left\{\begin{aligned}x\leq5000\\ x\geq1000\\ x\leq1.5(5000-x)\end{aligned}\right.
解得1000\leq x\leq3000
此时 w 关于 x 的函数解析式为 w=3x+18000w = 3x + 18000
\because 3>0
\therefore y 随 x 的增大而增大 ..... 5分
\therefore 当 x=3000 时,总利润最大, w_{max}=3\times3000+18000=27000 $ 元 ..... 7分
此时,甲产品(大米)的进货量为:5000-x=5000-3000=2000kg
答:经销商应购进营口大米 2000 kg,营口海蜇 3000 kg;
此时可获得最大总利润为 27000 元. ..... 8分

解析

(1)如图所示:当 0x<5000 \leq x < 500 时,设 y 关于 x 的解析式为 y = kx
(500,7500)(500,7500)代入y=kx,得此时y关于x的解析式y=15x
500x500\leq x时,设y关于x的解析式为 y=kx+by=kx+b
(500,7500)(500,7500)(2000,24000)(2000,24000)分别代入 y=kx+by=kx+b,……2分
解得,此时y关于x的解析式 y=11x+2000y=11x+2000
综上所述,y关于x的函数解析式为:
{y=15xy=11x+2000(0x<500)\left\{\begin{aligned}y&=15x\\ y&=11x+2000\end{aligned}\right.\quad\left(0\leq x<500\right) ……4分

(2)由题意得总进货量5000kg,其中海蜇xkg,则大米买入(5000-x)kg,
设总利润为 w,则 w 关于 x 的解析式为 w=(7x2000)+(200004x)=3x+18000w=(7x-2000)+(20000-4x)=3x+18000
又$\because\left\{\begin{aligned}x\leq5000\\ x\geq1000\\ x\leq1.5(5000-x)\end{aligned}\right.
解得1000\leq x\leq3000
此时 w 关于 x 的函数解析式为 w=3x+18000w = 3x + 18000
\because 3>0
\therefore y 随 x 的增大而增大 ..... 5分
\therefore 当 x=3000 时,总利润最大, w_{max}=3\times3000+18000=27000 $ 元 ..... 7分
此时,甲产品(大米)的进货量为:5000-x=5000-3000=2000kg
答:经销商应购进营口大米 2000 kg,营口海蜇 3000 kg;
此时可获得最大总利润为 27000 元. ..... 8分

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