$(1)$证明：如图$1$，连接$CD$交$OB$于$F$，
$\because CE$是直径，
$\therefore \angle EDC=90^{\circ}$，
$\because DE$∥$OB$，
$\therefore \angle EDC=\angle OFC=90^{\circ}$，
即$OB\bot CD$，
$\therefore \widehat {BC}=\widehat {BD}$；
$(2)$如图$2$，连接$CD$交$OB$于$F$，连接$EF$，
由（1）得：$DE$∥$OB$，$OB\bot CD$，点$F$是$CD$的中点，
$\because AE=CE$，
$\therefore EF$∥$AD$，$EF=\frac{1}{2}AD=2\sqrt{3}$，
$\because O$是$CE$的中点，$F$是$CD$的中点，
$\therefore OF=\frac{1}{2}DE$，
$\because EF$∥$BD,DE$∥$BF$，
$\therefore$四边形$EFBD$是平行四边形，
$\therefore BF=DE$，
设$OF=x$，则$BF=DE=2x$，$OC=OB=3x$，
$\because \widehat {BC}=\widehat {BD}$，
$\therefore BC=BD=EF=2\sqrt{3}$，
$\because DF^{2}=CF^{2}$
$\therefore (2\sqrt{3})^{2}-(2x)^{2}=(3x)^{2}-{x}^{2}$，
解得：$x=\pm 1$，
$\because x \gt 0$，
$\therefore x=1$，
$\therefore OC=3x=3$.

$(1)$证明：如图$1$，连接$CD$交$OB$于$F$，
$\because CE$是直径，
$\therefore \angle EDC=90^{\circ}$，
$\because DE$∥$OB$，
$\therefore \angle EDC=\angle OFC=90^{\circ}$，
即$OB\bot CD$，
$\therefore \widehat {BC}=\widehat {BD}$；
$(2)$如图$2$，连接$CD$交$OB$于$F$，连接$EF$，
由（1）得：$DE$∥$OB$，$OB\bot CD$，点$F$是$CD$的中点，
$\because AE=CE$，
$\therefore EF$∥$AD$，$EF=\frac{1}{2}AD=2\sqrt{3}$，
$\because O$是$CE$的中点，$F$是$CD$的中点，
$\therefore OF=\frac{1}{2}DE$，
$\because EF$∥$BD,DE$∥$BF$，
$\therefore$四边形$EFBD$是平行四边形，
$\therefore BF=DE$，
设$OF=x$，则$BF=DE=2x$，$OC=OB=3x$，
$\because \widehat {BC}=\widehat {BD}$，
$\therefore BC=BD=EF=2\sqrt{3}$，
$\because DF^{2}=CF^{2}$
$\therefore (2\sqrt{3})^{2}-(2x)^{2}=(3x)^{2}-{x}^{2}$，
解得：$x=\pm 1$，
$\because x \gt 0$，
$\therefore x=1$，
$\therefore OC=3x=3$.