【问题提出】（1）小明通过"直线与圆的位置关系"的学习,已经知道过圆外一点可以作圆的两条切线.在对这一知识的学习过程进行反思时,小明突发奇想:如图$1$,直线$l$与$\odot O$相离,点$P$在直线$l$上运动,过点$P$作$\odot O$的切线,切点为$A$,则$PA$的长是否存在最小值?
小明探究后发现,当$OP\bot$直线$l$时,$PA$的长最小.
请帮小明证明该结论:

【理解内化】（2）如图$2$,正方形$ABCD$的边长为$4$,以$D$为圆心.$2$为半径作圆.点$P$是$BC$边上动点,过点$P$作$\odot O$的切线,切点为$E$,则$PE$的取值范围为______.
【拓展应用】（3）如图$3$,直线$y=\frac{3}{4}x+3$与$x$轴和$y$轴分别相交于$A$,$B$两点,$P$是该直线上的任一点.将直线$y=\frac{3}{4}x+3$向下平移$5$个单位,与交$x$轴和$y$轴分别相交$D$,$C$两点,过点$D$向以$P$为圆心,$2$为半径的$\odot P$作右侧作切线,切点为$E$.则四边形$CPED$面积的最小值为______.
$(4)$在平面直角坐标系中,$\odot A$的半径为$2$,$A\left(0,4\right)$,过直线$y=kx\left(k\neq 0\right)$上一点$P$,作$\odot A$的切线,切点为$E$,$\triangle PAE$面积的最小值为$S$.若$1≤S≤\frac{3}{2}$.请直接写出$k$的取值范围.