$\left(1\right)\because DE\bot PE$，
$\therefore \angle E=90^{\circ}$，
$\because \angle EDB=\angle EPB$，$\angle DOE=\angle POB$，
$\therefore \angle EDB+\angle DOE=\angle EPB+\angle POB$，即$\angle OBP=\angle E=90^{\circ}$，
$\because OB$为圆的半径，
$\therefore PB$为圆$O$的切线；
$(2)$在$Rt\triangle PBD$中，$PB=6$，$DB=8$，
根据勾股定理得：$PD=\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}=10$，
$\because PD$与$PB$都为圆的切线，
$\therefore PC=PB=6$，
$\therefore DC=PD-PC=10-6=4$.
在$Rt\triangle CDO$中，设$OC=r$，则有$DO=8-r$，
根据勾股定理得：$\left(8-r\right)^{2}=r^{2}+4^{2}$，
解得：$r=3$，
则圆的半径为$3$.

$\left(1\right)\because DE\bot PE$，
$\therefore \angle E=90^{\circ}$，
$\because \angle EDB=\angle EPB$，$\angle DOE=\angle POB$，
$\therefore \angle EDB+\angle DOE=\angle EPB+\angle POB$，即$\angle OBP=\angle E=90^{\circ}$，
$\because OB$为圆的半径，
$\therefore PB$为圆$O$的切线；
$(2)$在$Rt\triangle PBD$中，$PB=6$，$DB=8$，
根据勾股定理得：$PD=\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}=10$，
$\because PD$与$PB$都为圆的切线，
$\therefore PC=PB=6$，
$\therefore DC=PD-PC=10-6=4$.
在$Rt\triangle CDO$中，设$OC=r$，则有$DO=8-r$，
根据勾股定理得：$\left(8-r\right)^{2}=r^{2}+4^{2}$，
解得：$r=3$，
则圆的半径为$3$.