连接$BC$，$AC$，以$AC$为斜边在$AC$的左侧作等腰$Rt\triangle QAC$，连接$BQ$，$DQ$，以点$Q$为圆心，以$OA$为半径作$\odot Q$，在$\odot Q$的优弧$AC$上取一点$M$，连接$MA$，$MC$，如图所示：

$\because \angle AQC=90^{\circ}$，
$\angle M=\frac{1}{2}\angle AQC=45^{\circ}$，
$\because$点$C$是弧$AB$的中点，
$\because \angle P=45^{\circ}$，$AC=BC$，
$\because CD\bot CP$，
$\therefore \triangle CDP$是等腰直角三角形，
$\therefore \angle CDP=\angle P=45^{\circ}$，
$\therefore \angle ADC=180^{\circ}-\angle CDP=135^{\circ}$，
$\therefore \angle M+\angle ADC=180^{\circ}$，
$\therefore$点$D$在$\odot Q$，
$\therefore$当点$Q$，$D$，$B$在同一条直线上时，$BD$为最小，最小值为$BQ-QD$，
$\because AB$是半圆$O$的直径，且$AB=6$，
$\therefore \angle ACB=90^{\circ}$，
又$\because AC=BC$，
$\therefore \triangle ABC$是等腰直角三角形，
$\therefore \angle CAB=45^{\circ}$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{2}AC$，
$\therefore AC=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=\frac{\sqrt{2}}{2}×6=3\sqrt{2}$，
$\because \triangle QAC$是等腰直角三角形，且$\angle AQC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle QAC=45^{\circ}$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{Q{A}^{2}+Q{C}^{2}}=\sqrt{2}QA$，
$\therefore QA=\frac{\sqrt{2}}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{2}×3\sqrt{2}=3$，
$\therefore QD=QA=3$
$\because \angle QAB=\angle QAC+\angle CAB=90^{\circ}$，
$\therefore$在$Rt\triangle QAB$中，由勾股定理得：$BQ=\sqrt{Q{A}^{2}+A{B}^{2}}=3\sqrt{5}$，
$\therefore BQ-QD=3\sqrt{5}-3$.
$\therefore BD$的最小值为$3\sqrt{5}-3$.
故答案为：$3\sqrt{5}-3$.

连接$BC$，$AC$，以$AC$为斜边在$AC$的左侧作等腰$Rt\triangle QAC$，连接$BQ$，$DQ$，以点$Q$为圆心，以$OA$为半径作$\odot Q$，在$\odot Q$的优弧$AC$上取一点$M$，连接$MA$，$MC$，如图所示：

$\because \angle AQC=90^{\circ}$，
$\angle M=\frac{1}{2}\angle AQC=45^{\circ}$，
$\because$点$C$是弧$AB$的中点，
$\because \angle P=45^{\circ}$，$AC=BC$，
$\because CD\bot CP$，
$\therefore \triangle CDP$是等腰直角三角形，
$\therefore \angle CDP=\angle P=45^{\circ}$，
$\therefore \angle ADC=180^{\circ}-\angle CDP=135^{\circ}$，
$\therefore \angle M+\angle ADC=180^{\circ}$，
$\therefore$点$D$在$\odot Q$，
$\therefore$当点$Q$，$D$，$B$在同一条直线上时，$BD$为最小，最小值为$BQ-QD$，
$\because AB$是半圆$O$的直径，且$AB=6$，
$\therefore \angle ACB=90^{\circ}$，
又$\because AC=BC$，
$\therefore \triangle ABC$是等腰直角三角形，
$\therefore \angle CAB=45^{\circ}$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{2}AC$，
$\therefore AC=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=\frac{\sqrt{2}}{2}×6=3\sqrt{2}$，
$\because \triangle QAC$是等腰直角三角形，且$\angle AQC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle QAC=45^{\circ}$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{Q{A}^{2}+Q{C}^{2}}=\sqrt{2}QA$，
$\therefore QA=\frac{\sqrt{2}}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{2}×3\sqrt{2}=3$，
$\therefore QD=QA=3$
$\because \angle QAB=\angle QAC+\angle CAB=90^{\circ}$，
$\therefore$在$Rt\triangle QAB$中，由勾股定理得：$BQ=\sqrt{Q{A}^{2}+A{B}^{2}}=3\sqrt{5}$，
$\therefore BQ-QD=3\sqrt{5}-3$.
$\therefore BD$的最小值为$3\sqrt{5}-3$.
故答案为：$3\sqrt{5}-3$.