（1）如图所示，连接$OD$，

$\because D$为$\widehat {BC}$的中点，
$\therefore \angle CAD=\angle BAD$，
$\because OA=OD$，
$\therefore \angle BAD=\angle ADO$，
$\therefore \angle CAD=\angle ADO$，
$\therefore OD$∥$AE$，
$\because DE\bot AC$，
$\therefore OD\bot EF$，
$\therefore OD$的长是圆心$O$到$EF$的距离，
$\because AB=90cm$，
$\therefore OD=\frac{1}{2}AB=45cm$.
$(2)$如图所示，过点$O$作$OG\bot AD$交$AD$于点$G$.
$\because DA=DF$，
$\therefore \angle F=\angle BAD$，
由（1）得$\angle CAD=\angle BAD$，
$\therefore \angle F=\angle CAD$，
$\because \angle F+\angle BAD+\angle CAD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle F=\angle BAD=\angle CAD=30^{\circ}$，
$\therefore \angle BOD=2\angle BAD=60^{\circ}$，$OF=2OD$，
$\because$在$Rt\triangle ODF$中，$OF^{2}-OD^{2}=DF^{2}$，
$\therefore {(2OD)}^{2}-O{D}^{2}={(6\sqrt{3})}^{2}$，解得$OD=6$，
在$Rt\triangle OAG$中，$OA=OD=6$，$\angle OAG=30^{\circ}$，$OG=\frac{1}{2}×6=3$，
$\therefore {S}_{△AOD}=\frac{1}{2}×6\sqrt{3}×3=9\sqrt{3}$，
$\therefore {S}_{阴影}={S}_{扇形OBD}+{S}_{△AOD}=\frac{60π×{6}^{2}}{360}+9\sqrt{3}=6π+9\sqrt{3}$.

（1）如图所示，连接$OD$，

$\because D$为$\widehat {BC}$的中点，
$\therefore \angle CAD=\angle BAD$，
$\because OA=OD$，
$\therefore \angle BAD=\angle ADO$，
$\therefore \angle CAD=\angle ADO$，
$\therefore OD$∥$AE$，
$\because DE\bot AC$，
$\therefore OD\bot EF$，
$\therefore OD$的长是圆心$O$到$EF$的距离，
$\because AB=90cm$，
$\therefore OD=\frac{1}{2}AB=45cm$.
$(2)$如图所示，过点$O$作$OG\bot AD$交$AD$于点$G$.
$\because DA=DF$，
$\therefore \angle F=\angle BAD$，
由（1）得$\angle CAD=\angle BAD$，
$\therefore \angle F=\angle CAD$，
$\because \angle F+\angle BAD+\angle CAD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle F=\angle BAD=\angle CAD=30^{\circ}$，
$\therefore \angle BOD=2\angle BAD=60^{\circ}$，$OF=2OD$，
$\because$在$Rt\triangle ODF$中，$OF^{2}-OD^{2}=DF^{2}$，
$\therefore {(2OD)}^{2}-O{D}^{2}={(6\sqrt{3})}^{2}$，解得$OD=6$，
在$Rt\triangle OAG$中，$OA=OD=6$，$\angle OAG=30^{\circ}$，$OG=\frac{1}{2}×6=3$，
$\therefore {S}_{△AOD}=\frac{1}{2}×6\sqrt{3}×3=9\sqrt{3}$，
$\therefore {S}_{阴影}={S}_{扇形OBD}+{S}_{△AOD}=\frac{60π×{6}^{2}}{360}+9\sqrt{3}=6π+9\sqrt{3}$.