$(1)$证明：如图，连接$BD$，

$\because \angle DAB=90^{\circ}$，

$\therefore BD$是$\odot O$的直径，

$\therefore \angle BCD=90^{\circ}$，

$\therefore \angle DEC+\angle CDE=90^{\circ}$，

$\because \angle CED=\angle CAB$，

$\therefore \angle BAC+\angle CDE=90^{\circ}$，

$\because \angle BAC=\angle BDC$，

$\therefore \angle BDC+\angle CDE=90^{\circ}$，

$\therefore \angle BDE=90^{\circ}$，

即：$BD\bot DE$，

$\because OD$为$\odot O$的半径，

$\therefore DE$是$\odot O$的切线；

$(2)$设$BD$与$AC$交于点$F$，

由（1）知：$BD\bot DE$，

$\because DE$∥$AC$，

$\therefore BD\bot AC$，

$\therefore CB=AB=4$，$AF=CF=\frac{1}{2}AC$，

在$Rt\triangle BCD$中，$BD=\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}=2\sqrt{5}$，

$\because {S}_{\triangle BDC}=\frac{1}{2}BC\color{red}{•}CD=\frac{1}{2}BD\color{red}{•}CF$，

$\therefore CF=\frac{BC\color{red}{•}CD}{BD}=\frac{2\color{red}{×}4}{2\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，

$\therefore AC=2CF=\frac{8\sqrt{5}}{5}$.

$(1)$证明：如图，连接$BD$，

$\because \angle DAB=90^{\circ}$，

$\therefore BD$是$\odot O$的直径，

$\therefore \angle BCD=90^{\circ}$，

$\therefore \angle DEC+\angle CDE=90^{\circ}$，

$\because \angle CED=\angle CAB$，

$\therefore \angle BAC+\angle CDE=90^{\circ}$，

$\because \angle BAC=\angle BDC$，

$\therefore \angle BDC+\angle CDE=90^{\circ}$，

$\therefore \angle BDE=90^{\circ}$，

即：$BD\bot DE$，

$\because OD$为$\odot O$的半径，

$\therefore DE$是$\odot O$的切线；

$(2)$设$BD$与$AC$交于点$F$，

由（1）知：$BD\bot DE$，

$\because DE$∥$AC$，

$\therefore BD\bot AC$，

$\therefore CB=AB=4$，$AF=CF=\frac{1}{2}AC$，

在$Rt\triangle BCD$中，$BD=\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}=2\sqrt{5}$，

$\because {S}_{\triangle BDC}=\frac{1}{2}BC\color{red}{•}CD=\frac{1}{2}BD\color{red}{•}CF$，

$\therefore CF=\frac{BC\color{red}{•}CD}{BD}=\frac{2\color{red}{×}4}{2\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，

$\therefore AC=2CF=\frac{8\sqrt{5}}{5}$.