据我国古代某数学著作记载,将一根直尺折成一个直角,两端连接得一个直角三角形,如果勾是三,股是四,那么弦就等于五.后人概括为"勾三、股四、弦五".
$(1)$观察$3$,$4$,$5$；$5$,$12$,$13$；$7$,$24$,$25$；$\ldots$.发现这些勾股数的"勾"都是奇数,且从$3$起就没有间断过,计算$\frac{1}{2}\left(9-1\right)$,$\frac{1}{2}\left(9+1\right)$与$\frac{1}{2}\left(25-1\right)$,$\frac{1}{2}(25+1)$,并根据你发现的规律,分别写出能用$7$,$24$,$25$中的勾表示股和弦的算式.
$(2)$根据（1）的规律,用含$n(n$为奇数且$n\geqslant 3)$的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦.猜想它们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以说明.
$(3)$继续观察$4$,$3$,$5$,$6$,$8$,$10$,$8$,$15$,$17$,$\ldots$.可以发现各组的第一个数都是偶数,且从$4$起也没有间断过,运用类似上述探索的方法,直接用含$m(m$为勾,$m$为偶数且$m\geqslant 6)$的代数式来表示它们的股和弦.