$A$、三角形的一个内角为$60^{\circ}$，一条边长为$3cm$，既不能唯一确定三角形形状和也不能唯一确定大小，不符合题意；

$B$、三角形的两个内角为$30^{\circ}$和$70^{\circ}$，能唯一确定三角形形状和但不能唯一确定大小，不符合题意；

$C$、三角形的两条边长分别为$3cm$和$5cm$，既不能唯一确定三角形形状和也不能唯一确定大小，不符合题意；

$D$、三角形的三条边长分别为$4cm$、$5cm$和$8cm$，能唯一确定三角形形状和大小，符合题意.

故选$D$.