由添加可知：对称轴为直线$x=1$，抛物线开口向下，
抛物线与$x$轴的交点为$\left(-1,0\right)$，$\left(3,0\right)$，
$\therefore$当$-1 \lt x \lt 3$时，$y \gt 0$；
$\therefore$不等式$ax^{2}+bx+c \gt 0$的解集为$-1 \lt x \lt 3$，
故答案为：$-1 \lt x \lt 3$.

由添加可知：对称轴为直线$x=1$，抛物线开口向下，
抛物线与$x$轴的交点为$\left(-1,0\right)$，$\left(3,0\right)$，
$\therefore$当$-1 \lt x \lt 3$时，$y \gt 0$；
$\therefore$不等式$ax^{2}+bx+c \gt 0$的解集为$-1 \lt x \lt 3$，
故答案为：$-1 \lt x \lt 3$.