自制温度计的液柱是随温度均匀变化的.有一支未刻刻度的温度计,当把它的玻璃泡放在冰水混合物中时,液柱的长度为$20cm$；当把它的玻璃泡放在一个标准大气压下的沸水中时,液柱的长度$60cm$.
$(1)$用该温度计进行测量,液柱每伸长$1cm$,实际温度升高多少$^{\circ}\mathrm{C}$?
$(2)$若用这支温度计测得某物体的温度为$40^{\circ}\mathrm{C}$,则此时液柱的长度为多少$cm$?
$(3)$若液柱的长度为$50cm$,则该处温度应标记为多少$^{\circ}\mathrm{C}$?