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八年级数学解答题一般
题目
已知x=15−2x=\frac{1}{{\sqrt{5}-2}},y=15+2y=\frac{1}{{\sqrt{5}+2}}.
(1)(1)求x2+xy+y2x^{2}+xy+y^{2}.
(2)(2)若xx的小数部分为aa,yy的整数部分为bb,求ax+byax+by的平方根.
知识点：无理数、估算无理数的大小、代数式求值、二次根式的混合运算章节：第2章 实数 / 2.3 二次根式

答案与解析

答案

(1)x=15−2=1×(5+2)(5−2)×(5+2)=5+2\left(1\right)x=\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{1×(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)×(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}+2，y=15+2=5−2y=\frac{1}{\sqrt{5}+2}=\sqrt{5}-2，
x+y=(5+2)+(5−2)=25x+y=(\sqrt{5}+2)+(\sqrt{5}-2)=2\sqrt{5}，xy=(5+2)×(5−2)=5−4=1xy=(\sqrt{5}+2)\times (\sqrt{5}-2)=5-4=1，
x2+xy+y2=(x+y)2−xy=(25)2−1=19x^{2}+xy+y^{2}=\left(x+y\right)^{2}-xy=(2\sqrt{5})^{2}-1=19；

(2)∵2<5<3(2)\because 2 \lt \sqrt{5} \lt 3，
∴4<5+2<5\therefore 4 \lt \sqrt{5}+2 \lt 5，0<5−2<10 \lt \sqrt{5}-2 \lt 1，
∴a=5+2−4=5−2\therefore a=\sqrt{5}+2-4=\sqrt{5}-2，b=0b=0，
∴ax+by=(5−2)(5+2)+(5−2)×0=5−4=1\therefore ax+by=(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)+(\sqrt{5}-2)\times 0=5-4=1，
∴ax+by\therefore ax+by的平方根是±1=±1\pm \sqrt{1}=\pm 1.

解析

(1)x=15−2=1×(5+2)(5−2)×(5+2)=5+2\left(1\right)x=\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{1×(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)×(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}+2，y=15+2=5−2y=\frac{1}{\sqrt{5}+2}=\sqrt{5}-2，
x+y=(5+2)+(5−2)=25x+y=(\sqrt{5}+2)+(\sqrt{5}-2)=2\sqrt{5}，xy=(5+2)×(5−2)=5−4=1xy=(\sqrt{5}+2)\times (\sqrt{5}-2)=5-4=1，
x2+xy+y2=(x+y)2−xy=(25)2−1=19x^{2}+xy+y^{2}=\left(x+y\right)^{2}-xy=(2\sqrt{5})^{2}-1=19；

(2)∵2<5<3(2)\because 2 \lt \sqrt{5} \lt 3，
∴4<5+2<5\therefore 4 \lt \sqrt{5}+2 \lt 5，0<5−2<10 \lt \sqrt{5}-2 \lt 1，
∴a=5+2−4=5−2\therefore a=\sqrt{5}+2-4=\sqrt{5}-2，b=0b=0，
∴ax+by=(5−2)(5+2)+(5−2)×0=5−4=1\therefore ax+by=(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)+(\sqrt{5}-2)\times 0=5-4=1，
∴ax+by\therefore ax+by的平方根是±1=±1\pm \sqrt{1}=\pm 1.

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