B

$-6$与$6$两点间的线段的长度$=6-\left(-6\right)=12$，
六等分后每个等分的线段的长度$=12\div 6=2$，
$\therefore a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$，$a_{4}$，$a_{5}$表示的数为：$-4$，$-2$，$0$，$2$，$4$，
$A$，$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=-4+\left(-2\right)+0+2+4=0$，故该选项不符合题意；
$B$，$\because a_{1}+a_{4}=-4+2=-2$，$a_{2}+a_{5}=-2+4=2$，$\therefore a_{1}+a_{4}=\neq a_{2}+a_{5}$，故该选项符合题意；
$C$，$\because a_{3}+a_{4}=0+2=2$，$a_{2}+a_{5}=-2+4=2$，$\therefore a_{2}+a_{5}=a_{3}+a_{4}$，故该选项不符合题意；
$D$，$\because a_{1}-a_{4}=-4-2=-6$，$a_{2}-a_{5}=-2-4=-6$，$\therefore a_{1}-a_{4}=a_{2}-a_{5}$，故该选项不符合题意；
故选：$B$.