A

$\because$由$x=y$得$3x=3y$，
$\therefore$选项$A$符合题意；

$\because$由$ax=ay$，$a=0$时，$x$可以不等于$y$，
$\therefore$选项$B$不符合题意；

$\because$由$|x|=|y|$得$x=y$或$x=-y$，
$\therefore$选项$C$不符合题意；

$\because x=y$得$x+1=y+1$，
$\therefore$选项$D$不符合题意.
故选：$A$.