$\left(1\right)\angle BCE=180^{\circ}-45^{\circ}-60^{\circ}=75^{\circ}$，

故答案为：$75^{\circ}$；

$(2)$①$75\div 5=15(秒)$，

故答案为：$15$；

②$\left(180-22.5\right)\div 5=31.5(秒)$，

故答案为：$31.5$；

$(3)$当三角尺$CDE$的边$CD$首次落在直线$MN$上时，所需要的时间为：$180\div 5=36(秒)$，

当$0 \lt t \lt 12$秒或$24 \lt t \lt 36$秒时，$\triangle ABC$在$MN$的上方，当$12 \lt t \lt 24$时，$\triangle ABC$在$MN$的下方，

当$0 \lt t \lt 12$秒时，$5t+15t=75-60$或$5t+15t=75+60$，

解得：$t=\frac{3}{4}$或$t=\frac{27}{4}$；

当$24 \lt t \lt 36$秒时，$5t+15t=+360+75-60$或$5t+15t=360+75+60$，

解得：$t=\frac{75}{4}$或$t=\frac{99}{4}$；

总上所述：当$t$的值为$\frac{3}{4}$或$\frac{27}{4}$或$\frac{75}{4}$或$\frac{99}{4}$时，$\angle BCE=60^{\circ}$.

$\left(1\right)\angle BCE=180^{\circ}-45^{\circ}-60^{\circ}=75^{\circ}$，

故答案为：$75^{\circ}$；

$(2)$①$75\div 5=15(秒)$，

故答案为：$15$；

②$\left(180-22.5\right)\div 5=31.5(秒)$，

故答案为：$31.5$；

$(3)$当三角尺$CDE$的边$CD$首次落在直线$MN$上时，所需要的时间为：$180\div 5=36(秒)$，

当$0 \lt t \lt 12$秒或$24 \lt t \lt 36$秒时，$\triangle ABC$在$MN$的上方，当$12 \lt t \lt 24$时，$\triangle ABC$在$MN$的下方，

当$0 \lt t \lt 12$秒时，$5t+15t=75-60$或$5t+15t=75+60$，

解得：$t=\frac{3}{4}$或$t=\frac{27}{4}$；

当$24 \lt t \lt 36$秒时，$5t+15t=+360+75-60$或$5t+15t=360+75+60$，

解得：$t=\frac{75}{4}$或$t=\frac{99}{4}$；

总上所述：当$t$的值为$\frac{3}{4}$或$\frac{27}{4}$或$\frac{75}{4}$或$\frac{99}{4}$时，$\angle BCE=60^{\circ}$.