由方程$2x-6=-mx$，解得$x=\frac{6}{2+m}$，
$\because m$为正整数，
$\therefore 2+m \gt 2$且为正整数，
又$\because x$为整数，
$\therefore 2+m=3$或$6$，
当$2+m=3$时，解得：$m=1$，
当$2+m=6$时，解得：$m=4$.
$\therefore$关于$x$的方程$2x-6=-mx(m$为正整数）有整数解，则$m$的值为$1$或$4$.
故答案为：$1$或$4$.

由方程$2x-6=-mx$，解得$x=\frac{6}{2+m}$，
$\because m$为正整数，
$\therefore 2+m \gt 2$且为正整数，
又$\because x$为整数，
$\therefore 2+m=3$或$6$，
当$2+m=3$时，解得：$m=1$，
当$2+m=6$时，解得：$m=4$.
$\therefore$关于$x$的方程$2x-6=-mx(m$为正整数）有整数解，则$m$的值为$1$或$4$.
故答案为：$1$或$4$.