B

$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$AB=4\sqrt{3}$厘米，
$\therefore CD=AB=4\sqrt{3}($厘米)。
$\because$点$P$从点$D$出发以每秒$\sqrt{3}$厘米的速度，
$\therefore$点$P$走完$CD$所用的时间为：$4\sqrt{3}\div \sqrt{3}=4(秒)$。
$\therefore$当点$P$在$CD$上时，$0\leqslant t\leqslant 4$.故排除$C$.
当$t=4$时，点$P$在点$C$处.过点$A$作$AE\bot CD$于点$E$.
$\therefore \angle E=90^{\circ}$.
$\because \angle ADC=120^{\circ}$，
$\therefore \angle EAD=\angle ADC-\angle E=30^{\circ}$.
$\because AD=2\sqrt{3}$厘米，
$\therefore DE=\sqrt{3}($厘米），
$\therefore AE=3(厘米)$。
$\therefore \triangle ADP$的面积$S=\frac{1}{2}CD\cdot AE=\frac{1}{2}\times 4\sqrt{3}\times 3=6\sqrt{3}($平方厘米)。
故选：$B$.