如图,在直角梯形纸片$ABCD$中$,AB$∥$DC,\angle A=90^{\circ}$,$CD \gt AD$,将纸片沿过点$D$的直线折叠,使点$A$落在边$CD$上的点$E$处,折痕为$DF$.连接$EF$并展开纸片.
$(1)$判断四边形$ADEF$的形状,并说明理由.
$(2)$取线段$AF$的中点$G$,连接$EG$、$DG$,如果$DG$∥$CB$,试说明四边形$GBCE$是等腰梯形.