如图$1$,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,$AB=AC$,射线$BP$交$AC$于点$D$,过点$C$作射线$BP$的垂线,垂足为$E$,过点$A$作射线$BP$的垂线,垂足为$F$,
$(1)$当$BD=2CE$时,求证:$BP$平分$\angle ABC$；
$(2)$线段$CE$,$AF$与$BE$之间有怎样的数量关系?请证明.
$(3)$如图$2$,若射线$BP$交$AC$延长线于点$D$,其余条件不变,$\left(2\right)$中的结论还成立吗?若成立请说明理由,若不成立,请给出结论并证明.