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八年级数学解答题一般
题目
如图11,在Rt△ABCRt\triangle ABC中,∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ},AB=ACAB=AC,射线BPBP交ACAC于点DD,过点CC作射线BPBP的垂线,垂足为EE,过点AA作射线BPBP的垂线,垂足为FF,
(1)(1)当BD=2CEBD=2CE时,求证:BPBP平分∠ABC\angle ABC；
(2)(2)线段CECE,AFAF与BEBE之间有怎样的数量关系?请证明.
(3)(3)如图22,若射线BPBP交ACAC延长线于点DD,其余条件不变,(2)\left(2\right)中的结论还成立吗?若成立请说明理由,若不成立,请给出结论并证明.
知识点：角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线、圆周角定理I、轴对称的性质、四点共圆、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、正方形的判定与性质章节：第21章 四边形 / 21.3 特殊的平行四边形 / 21.3.3 正方形

答案与解析

答案

(1)(1)证明：如图11，延长BABA，CGCG交于GG，

∵CE⊥BP\because CE\bot BP，
∴∠CED=∠BAC=90∘\therefore \angle CED=\angle BAC=90^{\circ}，
∵∠ADB=∠CDE\because \angle ADB=\angle CDE，
∴∠ABD=∠DCE\therefore \angle ABD=\angle DCE，
∵∠BAD=∠CAG=90∘\because \angle BAD=\angle CAG=90^{\circ}，AB=ACAB=AC，
∴△ABD\therefore \triangle ABD≌△ACE(ASA)\triangle ACE\left(ASA\right)，
∴BD=CG\therefore BD=CG，
∵BD=2CE\because BD=2CE，
∴CG=2CE\therefore CG=2CE，
∴CE=GE\therefore CE=GE，
∵BE⊥CG\because BE\bot CG，
∴BP\therefore BP平分∠ABC\angle ABC；
(2)(2)BE=2AF+CEBE=2AF+CE，
证明：连接AEAE，过AA作AG⊥AEAG\bot AE交BEBE于GG，

∴∠BAC=∠GAE=90∘\therefore \angle BAC=\angle GAE=90^{\circ}，
∴∠BAG=∠CAE\therefore \angle BAG=\angle CAE，
由（1）知∠ABG=∠ACE\angle ABG=\angle ACE，
∵AB=AC\because AB=AC，
∴△ABG\therefore \triangle ABG≌△ACE(ASA)\triangle ACE\left(ASA\right)，
∴AG=AE\therefore AG=AE，BG=CEBG=CE，
∴△GAE\therefore \triangle GAE是等腰直角三角形，
∵AF⊥BE\because AF\bot BE，
∴EG=2AF\therefore EG=2AF，
∵BE=BG+GE\because BE=BG+GE，
∴BE=CE+2AF\therefore BE=CE+2AF；
(3)(3)BE=2AF−BGBE=2AF-BG，
证明：连接AEAE，过AA作AG⊥AEAG\bot AE交EBEB的延长线于GG，

∴∠BAC=∠GAE=90∘\therefore \angle BAC=\angle GAE=90^{\circ}，
∴∠BAG=∠CAE\therefore \angle BAG=\angle CAE，
∵∠BAC=∠CEB=90∘\because \angle BAC=\angle CEB=90^{\circ}，
∴∠ACE+∠ABE=180∘\therefore \angle ACE+\angle ABE=180^{\circ}，
∵∠ABG+∠ABE=180∘\because \angle ABG+\angle ABE=180^{\circ}，
∴∠ABG=∠ACE\therefore \angle ABG=\angle ACE，
∵AB=AC\because AB=AC，
∴△ABG\therefore \triangle ABG≌△ACE(ASA)\triangle ACE\left(ASA\right)，
∴AG=AE\therefore AG=AE，BG=CEBG=CE，
∴△GAE\therefore \triangle GAE是等腰直角三角形，
∵AF⊥BE\because AF\bot BE，
∴EG=2AF\therefore EG=2AF，
∵BE=GE−BG\because BE=GE-BG，
∴BE=2AF−BG\therefore BE=2AF-BG.

解析

(1)(1)证明：如图11，延长BABA，CGCG交于GG，

∵CE⊥BP\because CE\bot BP，
∴∠CED=∠BAC=90∘\therefore \angle CED=\angle BAC=90^{\circ}，
∵∠ADB=∠CDE\because \angle ADB=\angle CDE，
∴∠ABD=∠DCE\therefore \angle ABD=\angle DCE，
∵∠BAD=∠CAG=90∘\because \angle BAD=\angle CAG=90^{\circ}，AB=ACAB=AC，
∴△ABD\therefore \triangle ABD≌△ACE(ASA)\triangle ACE\left(ASA\right)，
∴BD=CG\therefore BD=CG，
∵BD=2CE\because BD=2CE，
∴CG=2CE\therefore CG=2CE，
∴CE=GE\therefore CE=GE，
∵BE⊥CG\because BE\bot CG，
∴BP\therefore BP平分∠ABC\angle ABC；
(2)(2)BE=2AF+CEBE=2AF+CE，
证明：连接AEAE，过AA作AG⊥AEAG\bot AE交BEBE于GG，

∴∠BAC=∠GAE=90∘\therefore \angle BAC=\angle GAE=90^{\circ}，
∴∠BAG=∠CAE\therefore \angle BAG=\angle CAE，
由（1）知∠ABG=∠ACE\angle ABG=\angle ACE，
∵AB=AC\because AB=AC，
∴△ABG\therefore \triangle ABG≌△ACE(ASA)\triangle ACE\left(ASA\right)，
∴AG=AE\therefore AG=AE，BG=CEBG=CE，
∴△GAE\therefore \triangle GAE是等腰直角三角形，
∵AF⊥BE\because AF\bot BE，
∴EG=2AF\therefore EG=2AF，
∵BE=BG+GE\because BE=BG+GE，
∴BE=CE+2AF\therefore BE=CE+2AF；
(3)(3)BE=2AF−BGBE=2AF-BG，
证明：连接AEAE，过AA作AG⊥AEAG\bot AE交EBEB的延长线于GG，

∴∠BAC=∠GAE=90∘\therefore \angle BAC=\angle GAE=90^{\circ}，
∴∠BAG=∠CAE\therefore \angle BAG=\angle CAE，
∵∠BAC=∠CEB=90∘\because \angle BAC=\angle CEB=90^{\circ}，
∴∠ACE+∠ABE=180∘\therefore \angle ACE+\angle ABE=180^{\circ}，
∵∠ABG+∠ABE=180∘\because \angle ABG+\angle ABE=180^{\circ}，
∴∠ABG=∠ACE\therefore \angle ABG=\angle ACE，
∵AB=AC\because AB=AC，
∴△ABG\therefore \triangle ABG≌△ACE(ASA)\triangle ACE\left(ASA\right)，
∴AG=AE\therefore AG=AE，BG=CEBG=CE，
∴△GAE\therefore \triangle GAE是等腰直角三角形，
∵AF⊥BE\because AF\bot BE，
∴EG=2AF\therefore EG=2AF，
∵BE=GE−BG\because BE=GE-BG，
∴BE=2AF−BG\therefore BE=2AF-BG.

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