设该函数的解析式为$y=kx$，
$\because$正比例函数的图象经过$A\left(-2,6\right)$，
$\therefore 6=-2k$，
解得$k=-3$，
$\therefore y=-3x$，
$\because$点$B\left(m,4\right)$在该函数图象上，
$\therefore -3m=4$，
解得$m=-\frac{4}{3}$，
故答案为：$-\frac{4}{3}$.

设该函数的解析式为$y=kx$，
$\because$正比例函数的图象经过$A\left(-2,6\right)$，
$\therefore 6=-2k$，
解得$k=-3$，
$\therefore y=-3x$，
$\because$点$B\left(m,4\right)$在该函数图象上，
$\therefore -3m=4$，
解得$m=-\frac{4}{3}$，
故答案为：$-\frac{4}{3}$.