B

$A$、$y=2x+4$的图象向左平移$2$个单位长度，再向上平移$2$个单位长度得到：$y=2\left(x+2\right)+4+2=2x+10$，此函数图象不经过原点，不符合题意；
$B$、$y=2x+4$的图象向右平移$1$个单位长度，再向下平移$2$个单位长度得到：$y=2\left(x-1\right)+4-2=2x$，此函数图形经过原点，符合题意；
$C$、$y=2x+4$的图象向右平移$4$个单位长度得到：$y=2\left(x-4\right)+4=2x-4$，此函数图象不经过原点，不符合题意；
$D$、$y=2x+4$的图象向下平移$2$个单位长度得到：$y=2x+4-2=2x+2$，此函数图象不经过原点，不符合题意；
故选：$B$.