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八年级数学填空题一般
题目
综合实践
在学习全等三角形的知识时,数学兴趣小组发现这样一个模型:它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的,在相对位置变化的同时,始终存在一对全等三角形.兴趣小组成员经过研讨给出定义:如果两个等腰三角形的顶角相等,且顶角的顶点互相重合,则称此图形为"手拉手全等模型".因为顶点相连的四条边,可以形象地看作两双手,所以通常称为"手拉手模型",如图11,△ABC\triangle ABC与△ADE\triangle ADE都是等腰三角形,其中∠BAC=∠DAE\angle BAC=\angle DAE,则△ABD\triangle ABD≌△ACE(SAS).\triangle ACE\left(SAS\right).

[[初步把握]]如图22,△ABC\triangle ABC与△ADE\triangle ADE都是等腰三角形,AB=ACAB=AC,AD=AEAD=AE,且∠BAC=∠DAE\angle BAC=\angle DAE,则有 ______≌______.
[[深入研究]]如图33,已知△ABC\triangle ABC,以ABAB、ACAC为边分别向外作等边△ABD\triangle ABD和等边△ACE\triangle ACE,并连接BEBE,CDCD,求证:BE=CDBE=CD.
[[拓展延伸]]如图44,在两个等腰直角三角形△ABC\triangle ABC和△ADE\triangle ADE中,AB=ACAB=AC,AE=ADAE=AD,∠BAC=∠DAE=90∘\angle BAC=\angle DAE=90^{\circ},连接BDBD,CECE,交于点PP,请判断BDBD和CECE的关系,并说明理由.
知识点：四边形综合题章节：第18章 平行四边形 / 18.1 平行四边形

答案与解析

答案

[[初步把握]]∵∠BAC=∠DAE\because \angle BAC=\angle DAE，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC\therefore \angle BAC+\angle DAC=\angle DAE+\angle DAC，
即∠BAD=∠CAE\angle BAD=\angle CAE，
在△ABD\triangle ABD和△ACE\triangle ACE中，
{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.，
∴△ABD\therefore \triangle ABD≌△ACE(SAS)\triangle ACE\left(SAS\right)，
故答案为：△ABD\triangle ABD，△ACE\triangle ACE；
[[深入研究]]证明：∵△ABD\because \triangle ABD和△ACE\triangle ACE都是等边三角形，
∴AB=AD\therefore AB=AD，AE=ACAE=AC，∠BAD=∠CAE=60∘\angle BAD=\angle CAE=60^{\circ}，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC\therefore \angle BAD+\angle BAC=\angle CAE+\angle BAC，
即∠DAC=∠BAE\angle DAC=\angle BAE，
在△ABE\triangle ABE和△ADC\triangle ADC中，
{AB=AD∠BAE=∠DACAE=AC\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAC}\\{AE=AC}\end{array}\right.，
∴△ABE\therefore \triangle ABE≌△ADC(SAS)\triangle ADC\left(SAS\right)，
∴BE=CD\therefore BE=CD；
[[拓展延伸]]BD=CEBD=CE，BD⊥CEBD\bot CE，理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90∘\because \angle BAC=\angle DAE=90^{\circ}，
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE\therefore \angle BAC+\angle BAE=\angle DAE+\angle BAE，
即∠CAE=∠BAD\angle CAE=\angle BAD，
在△ABD\triangle ABD和△ACE\triangle ACE中，
{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.，
∴△ABD\therefore \triangle ABD≌△ACE(SAS)\triangle ACE\left(SAS\right)，
∴BD=CE\therefore BD=CE，∠ABD=∠ACE\angle ABD=\angle ACE，
∵∠BPC+∠ABD=∠BAC+∠ACE\because \angle BPC+\angle ABD=\angle BAC+\angle ACE，
∴∠BPC=∠BAC=90∘\therefore \angle BPC=\angle BAC=90^{\circ}，
∴BD⊥CE\therefore BD\bot CE.

解析

[[初步把握]]∵∠BAC=∠DAE\because \angle BAC=\angle DAE，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC\therefore \angle BAC+\angle DAC=\angle DAE+\angle DAC，
即∠BAD=∠CAE\angle BAD=\angle CAE，
在△ABD\triangle ABD和△ACE\triangle ACE中，
{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.，
∴△ABD\therefore \triangle ABD≌△ACE(SAS)\triangle ACE\left(SAS\right)，
故答案为：△ABD\triangle ABD，△ACE\triangle ACE；
[[深入研究]]证明：∵△ABD\because \triangle ABD和△ACE\triangle ACE都是等边三角形，
∴AB=AD\therefore AB=AD，AE=ACAE=AC，∠BAD=∠CAE=60∘\angle BAD=\angle CAE=60^{\circ}，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC\therefore \angle BAD+\angle BAC=\angle CAE+\angle BAC，
即∠DAC=∠BAE\angle DAC=\angle BAE，
在△ABE\triangle ABE和△ADC\triangle ADC中，
{AB=AD∠BAE=∠DACAE=AC\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAC}\\{AE=AC}\end{array}\right.，
∴△ABE\therefore \triangle ABE≌△ADC(SAS)\triangle ADC\left(SAS\right)，
∴BE=CD\therefore BE=CD；
[[拓展延伸]]BD=CEBD=CE，BD⊥CEBD\bot CE，理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90∘\because \angle BAC=\angle DAE=90^{\circ}，
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE\therefore \angle BAC+\angle BAE=\angle DAE+\angle BAE，
即∠CAE=∠BAD\angle CAE=\angle BAD，
在△ABD\triangle ABD和△ACE\triangle ACE中，
{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.，
∴△ABD\therefore \triangle ABD≌△ACE(SAS)\triangle ACE\left(SAS\right)，
∴BD=CE\therefore BD=CE，∠ABD=∠ACE\angle ABD=\angle ACE，
∵∠BPC+∠ABD=∠BAC+∠ACE\because \angle BPC+\angle ABD=\angle BAC+\angle ACE，
∴∠BPC=∠BAC=90∘\therefore \angle BPC=\angle BAC=90^{\circ}，
∴BD⊥CE\therefore BD\bot CE.

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