D

根据表格中的信息知：$\sqrt{2.2801}=1.51$，故①正确；
根据表格中的信息知：$15.5^{2}=240.25 \lt n \lt 15.6^{2}=243.36$，
$\therefore$正整数$n=241$或$242$或$243$，
$\therefore$一定有$3$个整数的算术平方根在$15.5\sim 15.6$之间，故②正确；
$\because 14.9^{2}=222.01$，$14.8^{2}=219.04$，$14.7^{2}=216.09$，
$\therefore$对于小于$15$的两个正数，若它们的差等于$0.1$，则它们的平方的差小于$3.01$，故③正确；
$\because 16.2^{2}=262.44$，$16.1^{2}=259.21$，$262.44-259.21=3.23$，故④正确；
$\therefore$合理推断的序号是①②③④.
故选：$D$.