$\because$一次函数$y=-\dfrac{3}{4}x+3$的图象与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$B$，

$\therefore A\left(4,0\right)$，$B\left(0,3\right)$，

$\therefore OA=4$，$OB=3$，

$\therefore AB=5$，

如图$1$，当点$A$落在$y$轴的正半轴上时，

设点$C$的坐标为$\left(m,0\right)$，

$\because$将$\triangle ABC$沿$BC$所在的直线折叠，当点$A$落在$y$轴上时，

$\therefore A\’O=3+5=8,A\’C=AC=4-m,$

$\because A\’C^{2}=OC^{2}+A\’O^{2}$，

$\therefore \left(4-m\right)^{2}=m^{2}+8^{2}$，

$\therefore m=-6$；

如图$2$，当点$A$落在$y$轴的负半轴上时，

设点$C$的坐标为$\left(m,0\right)$，

$\because$将$\triangle ABC$沿$BC$所在的直线折叠，当点$A$落在$y$轴上时，

$\therefore A\’O=5-3=2$，$A\’C=AC=4-m$，

$\because A\’C^{2}=OC^{2}+A\’O^{2}$，

$\therefore \left(4-m\right)^{2}=m^{2}+2^{2}$，

$\therefore m=\dfrac{3}{2}$；

综上所述，当点$A$落在$y$轴上时，点$C$的坐标为$\left(-6,0\right)$或$(\dfrac{3}{2}$，$0)$，

故答案为：$\left(-6,0\right)$或$(\dfrac{3}{2}$，$0)$.

$\because$一次函数$y=-\dfrac{3}{4}x+3$的图象与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$B$，

$\therefore A\left(4,0\right)$，$B\left(0,3\right)$，

$\therefore OA=4$，$OB=3$，

$\therefore AB=5$，

如图$1$，当点$A$落在$y$轴的正半轴上时，

设点$C$的坐标为$\left(m,0\right)$，

$\because$将$\triangle ABC$沿$BC$所在的直线折叠，当点$A$落在$y$轴上时，

$\therefore A\’O=3+5=8,A\’C=AC=4-m,$

$\because A\’C^{2}=OC^{2}+A\’O^{2}$，

$\therefore \left(4-m\right)^{2}=m^{2}+8^{2}$，

$\therefore m=-6$；

如图$2$，当点$A$落在$y$轴的负半轴上时，

设点$C$的坐标为$\left(m,0\right)$，

$\because$将$\triangle ABC$沿$BC$所在的直线折叠，当点$A$落在$y$轴上时，

$\therefore A\’O=5-3=2$，$A\’C=AC=4-m$，

$\because A\’C^{2}=OC^{2}+A\’O^{2}$，

$\therefore \left(4-m\right)^{2}=m^{2}+2^{2}$，

$\therefore m=\dfrac{3}{2}$；

综上所述，当点$A$落在$y$轴上时，点$C$的坐标为$\left(-6,0\right)$或$(\dfrac{3}{2}$，$0)$，

故答案为：$\left(-6,0\right)$或$(\dfrac{3}{2}$，$0)$.