题目如图所示,在平面直角坐标系中,
P(4,4),
(1)点
A在
x的正半轴运动,点
B在
y的正半轴上,且
PA=PB,
①求证:
PA⊥PB:
②求
OA+OB的值；
(2)点
A在
x的正半轴运动,点
B在
y的负半轴上,且
PA=PB,求
OA−OB的值.
知识点：坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质章节：第14章 全等三角形 / 14.2 三角形全等的判定
答案与解析
答案
(1)①证明：如图
1，过点
P作
PE⊥x轴于
E，作
PF⊥y轴于
F，
∴PE⊥PF，
∵P(4,4)，
∴PE=PF=4，
在
Rt△APE和
Rt△BPF，
{PA=PBPE=PF，
∴Rt△APE≌Rt△BPF(HL)，
∴∠APE=∠BPF，
∴∠APB=∠APE+∠BPE=∠BPF+∠BPE=∠EPF=90∘，
∴PA⊥PB；
②
∵Rt△APE≌Rt△BPF(HL)，
∴BF=AE，
∵OA=OE+AE，
OB=OF−BF，
∴OA+OB=OE+AE+OF−BF=OE+OF=4+4=8；
(2)如图
2，过点
P作
PE⊥x轴于
E，作
PF⊥y轴于
F，
同理得
Rt△APE≌Rt△BPF(HL)，
∴AE=BF，
∵AE=OA−OE=OA−4，
BF=OB+OF=OB+4，
∴OA−4=OB+4，
∴OA−OB=8.
解析
(1)①证明：如图
1，过点
P作
PE⊥x轴于
E，作
PF⊥y轴于
F，
∴PE⊥PF，
∵P(4,4)，
∴PE=PF=4，
在
Rt△APE和
Rt△BPF，
{PA=PBPE=PF，
∴Rt△APE≌Rt△BPF(HL)，
∴∠APE=∠BPF，
∴∠APB=∠APE+∠BPE=∠BPF+∠BPE=∠EPF=90∘，
∴PA⊥PB；
②
∵Rt△APE≌Rt△BPF(HL)，
∴BF=AE，
∵OA=OE+AE，
OB=OF−BF，
∴OA+OB=OE+AE+OF−BF=OE+OF=4+4=8；
(2)如图
2，过点
P作
PE⊥x轴于
E，作
PF⊥y轴于
F，
同理得
Rt△APE≌Rt△BPF(HL)，
∴AE=BF，
∵AE=OA−OE=OA−4，
BF=OB+OF=OB+4，
∴OA−4=OB+4，
∴OA−OB=8.
