设方程的两根分别为$t$，$t+2$，
根据题意得$t+t+2=4m$，$t\left(t+2\right)=3m^{2}$，
把$t=2m-1$代入$t\left(t+2\right)=3m^{2}$得$\left(2m-1\right)\left(2m+1\right)=3m^{2}$，
整理得$m^{2}-1=0$，解得$m=1$或$m=-1(舍去)$，
所以$m$的值为$1$.
法二：$\because x^{2}-4mx+3m^{2}=\left(x-m\right)\left(x-3m\right)$，
$\therefore$关于$x$的一元二次方程$x^{2}-4mx+3m^{2}=0\left(m \gt 0\right)$的两根分别为$x_{1}=m$，$x_{2}=3m$，且$x_{2} \gt x_{1}$，
$\therefore x_{2}-x_{1}=2m=2$，
$\therefore m=1$，
故答案为$1$.

设方程的两根分别为$t$，$t+2$，
根据题意得$t+t+2=4m$，$t\left(t+2\right)=3m^{2}$，
把$t=2m-1$代入$t\left(t+2\right)=3m^{2}$得$\left(2m-1\right)\left(2m+1\right)=3m^{2}$，
整理得$m^{2}-1=0$，解得$m=1$或$m=-1(舍去)$，
所以$m$的值为$1$.
法二：$\because x^{2}-4mx+3m^{2}=\left(x-m\right)\left(x-3m\right)$，
$\therefore$关于$x$的一元二次方程$x^{2}-4mx+3m^{2}=0\left(m \gt 0\right)$的两根分别为$x_{1}=m$，$x_{2}=3m$，且$x_{2} \gt x_{1}$，
$\therefore x_{2}-x_{1}=2m=2$，
$\therefore m=1$，
故答案为$1$.