$m$、$n$是方程$x^{2}-2x-5=0$的两个根，
由根与系数的关系得出$m+n=2$，
由根的定义得出$m^{2}-2m-5=0$，
变形得$m^{2}=5+2m$，
即可得出$m^{2}+2n$
$=5+2m+2n$
$=5+2\left(m+n\right)$
$=5+2\times 2$
$=9$.
故答案为：$9$.

$m$、$n$是方程$x^{2}-2x-5=0$的两个根，
由根与系数的关系得出$m+n=2$，
由根的定义得出$m^{2}-2m-5=0$，
变形得$m^{2}=5+2m$，
即可得出$m^{2}+2n$
$=5+2m+2n$
$=5+2\left(m+n\right)$
$=5+2\times 2$
$=9$.
故答案为：$9$.