图$1$是某折叠式躺椅的实物图，图$2$是靠背垂直地面时的侧面展开图，此时四边形$ABCD$是矩形，$AB=20cm$，$AD=30\sqrt{5}cm$，$DE=60cm$，$BF=30cm.$点$H$在$BC$上，椅子的支撑杆$AF$、$BG$、$CE$分别绕$B$、$H$、$D$转动并带动$AI$转动，支撑杆$LK$、$JM$不动．躺椅在转动时：
$(1)$若直线$EF$过点$J$，当$∠ADE=120°$时，$\triangle AFJ$的面积是 ______$cm^{2}.$
$(2)$若$\dfrac{1}{2}< \tan ∠EDI< 2$，$EF$与地面的夹角为$α$，则$\tan α$的取值范围是 ______.