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八年级数学解答题一般
题目
周末，数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告：
活动课题秋千绳索长度与离地高度的探究
问题背景荡秋千是很多小朋友都喜欢的一项运动游戏，数学兴趣小组想运用勾股定理的相关知识来测算秋千的绳索长度。
测量数据抽象模型秋千的绳索在运动过程中始终被拉直（线段 AB 或 AC），当秋千静止时，踏板离地面的垂直高度 CD=1 尺；将踏板往前水平推送 BE=8 尺后，秋千踏板恰与人齐，此时踏板离地垂直高度 BO=5 尺（此人身高 5 尺）。牵绳顶端 A 到地面的垂直距离不变。 Image
问题产生经过讨论，兴趣小组提出以下问题：（1）根据测量所得数据，计算出秋千绳索 AB 的长度；（2）当踏板到达最高点 B′ 时，踏板被往前水平推送 1 尺，此时 B′ 与 AD 的水平距离 B′E′ = 9 尺，且绳索仍被拉直。计算秋千踏板比“与人齐”时上升了多少尺？（即 E′E′ 的长度）（结果精确到 0.1， 19≈4.359\sqrt{19} \approx 4.359）公众号“做中学学中做”
问题解决......

请你根据报告单内容完成问题解决，并写出完整的解答过程.
知识点：勾股定理的应用章节：第1章 勾股定理 / 1.1 探索勾股定理

答案与解析

答案

（1）由题意得 CD=1，BE=8，BG=5
∵CD⊥GD\because CD \perp GD, BG⊥GDBG \perp GD, BE⊥ADBE \perp AD,
∴\therefore四边形 BGDE 为矩形
∴BG=ED=5\therefore BG=ED=5, BE=GD=8BE=GD=8
∵CD=1\because CD=1
∴CE=ED−CD=5−1=4\therefore CE=ED-CD=5-1=4
设 AB=x，则 AE 为 (x−4)(x-4)，此时在 Rt △ABE\triangle ABE 中，
由勾股定理得： AE2+BE2=AB2AE^{2}+BE^{2}=AB^{2}
即 (x−4)2+82=x2(x-4)^{2}+8^{2}=x^{2}
解得 x=10
∴秋千绳索 AB 的长度为 10 尺.

（2）由题意得 B′E′=9,AB=10B^{\prime}E^{\prime}=9, AB=10
Image
图1
如图2在 Rt△AB′E′Rt\triangle AB'E'中，
由勾股定理得： AE2+B2E2=AB2AE^{2}+B^{2}E^{2}=AB^{2}
∴AE=AB2−B2E2\therefore AE=\sqrt{AB^{2}-B^{2}E^{2}}
解得 AE′=19AE' = \sqrt{19}
∵CD=1,∴AC=10\because CD=1,∴AC=10
∴DE=AD−AE′=11−19\therefore DE=AD-AE^{\prime}=11-\sqrt{19}
∵ED=5\because ED=5
∴EE′=DE−DE=11−19−5=6−19\therefore EE^{\prime}=DE-DE=11-\sqrt{19}-5=6-\sqrt{19}
∵19≈4.359\because\sqrt{19}\approx4.359
∴EE′=6−19≈6−4.359≈1.6\therefore EE^{\prime}=6-\sqrt{19}\approx6-4.359\approx1.6
∴秋千踏板比“与人齐”时约上升了1.6尺

解析

（1）由题意得 CD=1，BE=8，BG=5
∵CD⊥GD\because CD \perp GD, BG⊥GDBG \perp GD, BE⊥ADBE \perp AD,
∴\therefore四边形 BGDE 为矩形
∴BG=ED=5\therefore BG=ED=5, BE=GD=8BE=GD=8
∵CD=1\because CD=1
∴CE=ED−CD=5−1=4\therefore CE=ED-CD=5-1=4
设 AB=x，则 AE 为 (x−4)(x-4)，此时在 Rt △ABE\triangle ABE 中，
由勾股定理得： AE2+BE2=AB2AE^{2}+BE^{2}=AB^{2}
即 (x−4)2+82=x2(x-4)^{2}+8^{2}=x^{2}
解得 x=10
∴秋千绳索 AB 的长度为 10 尺.

（2）由题意得 B′E′=9,AB=10B^{\prime}E^{\prime}=9, AB=10
Image
图1
如图2在 Rt△AB′E′Rt\triangle AB'E'中，
由勾股定理得： AE2+B2E2=AB2AE^{2}+B^{2}E^{2}=AB^{2}
∴AE=AB2−B2E2\therefore AE=\sqrt{AB^{2}-B^{2}E^{2}}
解得 AE′=19AE' = \sqrt{19}
∵CD=1,∴AC=10\because CD=1,∴AC=10
∴DE=AD−AE′=11−19\therefore DE=AD-AE^{\prime}=11-\sqrt{19}
∵ED=5\because ED=5
∴EE′=DE−DE=11−19−5=6−19\therefore EE^{\prime}=DE-DE=11-\sqrt{19}-5=6-\sqrt{19}
∵19≈4.359\because\sqrt{19}\approx4.359
∴EE′=6−19≈6−4.359≈1.6\therefore EE^{\prime}=6-\sqrt{19}\approx6-4.359\approx1.6
∴秋千踏板比“与人齐”时约上升了1.6尺

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