A

根据题意，图中直角三角形一直角边为$3m$，斜边为$5m$，
根据勾股定理，可得另一直角边长为$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}=4m$，
则需购买红地毯的长为$4+3=7m$，
又因为红地毯的宽，即台阶的宽为$3m$，
所以共需购买红地毯$3\times 7=21m^{2}$.
故选：$A$.