D

①$\because BM\bot AC$于点$M$，$CN\bot AB$于点$N$，$P$为$BC$边的中点，
$\therefore PM=\frac{1}{2}BC$，$PN=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore PM=PN$，正确；

②在$\triangle ABM$与$\triangle ACN$中，
$\because \angle A=\angle A$，$\angle AMB=\angle ANC=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle ABM$∽$\triangle ACN$，
$\therefore \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$，正确；

③$\because \angle A=60^{\circ}$，$BM\bot AC$于点$M$，$CN\bot AB$于点$N$，
$\therefore \angle ABM=\angle ACN=30^{\circ}$，
在$\triangle ABC$中，$\angle BCN+\angle CBM=180^{\circ}-60^{\circ}-30^{\circ}\times 2=60^{\circ}$，
$\because$点$P$是$BC$的中点，$BM\bot AC$，$CN\bot AB$，
$\therefore PM=PN=PB=PC$，
$\therefore \angle BPN=2\angle BCN$，$\angle CPM=2\angle CBM$，
$\therefore \angle BPN+\angle CPM=2\left(\angle BCN+\angle CBM\right)=2\times 60^{\circ}=120^{\circ}$，
$\therefore \angle MPN=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle PMN$是等边三角形，正确；

④当$\angle ABC=45^{\circ}$时，$\because CN\bot AB$于点$N$，
$\therefore \angle BNC=90^{\circ}$，$\angle BCN=45^{\circ}$，
$\therefore BN=CN$，
$\because P$为$BC$边的中点，
$\therefore PN\bot BC$，$\triangle BPN$为等腰直角三角形
$\therefore BN=\sqrt{2}PB=\sqrt{2}PC$，正确.
故选：$D$.