D

$\because$关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2\left(a-4\right)x+a^{2}=0$有实数解，
$\therefore \Delta =4\left(a-4\right)^{2}-4a^{2}=-32a+64\geqslant 0$，
解得$a\leqslant 2$.
$\because$关于$y$的分式方程$\frac{y+a}{y-1}-3=\frac{1}{1-y}$有正整数解，
$\therefore y=\frac{a+4}{2}$为正整数，且不等于$1$.
$\therefore -3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$，$3$这七个数中，满足以上条件的$a$的值有：$0$，$2$，
$\therefore$抽到的数$a$恰好符合条件的概率是$\frac{2}{7}$.
故选：$D$.