由题意知，最小“拜拜数”，千位上数字为$1$，十位上数字为$7$，百位上数字为$2$，个位上数字为$6$，即最小“拜拜数”为$1276$，

$\because$一个“拜拜数”$M$的千位数字是$2a$，百位数字是$b$，十位数字是$2c+d$，则个位数字为$\left(8-b\right)$，

依题意得，$2a+2c+d=8$，$F\left(M\right)=2a\left(8-b\right)$，$K\left(M\right)=b\left(2c+d\right)$，

$\therefore F\left(M\right)-K\left(M\right)-4a+4c+2d=2a\left(8-b\right)-b\left(2c+d\right)-4a+4c+2d$

$=16a-b\left(2a+2c+d\right)-4a+2\left(8-2a\right)$

$=8a-8b+16$

$=8\left(a-b+2\right)$，

$\because F\left(M\right)-K\left(M\right)-4a+4c+2d$是一个自然数的平方，

$\therefore$当自然数是$4$时，$8\left(a-b+2\right)=4^{2}$，即$a=b$，

$\because 1\leqslant a\leqslant 4$，

$\therefore$当$a=3$时，千位数最大为$6$，此时百位数为$3$，十位数为$2$，个位数为$5$，

$\therefore$最大的“拜拜数”是$6325$，

当自然数是$8$时，$8\left(a-b+2\right)=8^{2}$，即$a-b=6$，此时不满足题意；

故答案为：$1276$；$6325$.

由题意知，最小“拜拜数”，千位上数字为$1$，十位上数字为$7$，百位上数字为$2$，个位上数字为$6$，即最小“拜拜数”为$1276$，

$\because$一个“拜拜数”$M$的千位数字是$2a$，百位数字是$b$，十位数字是$2c+d$，则个位数字为$\left(8-b\right)$，

依题意得，$2a+2c+d=8$，$F\left(M\right)=2a\left(8-b\right)$，$K\left(M\right)=b\left(2c+d\right)$，

$\therefore F\left(M\right)-K\left(M\right)-4a+4c+2d=2a\left(8-b\right)-b\left(2c+d\right)-4a+4c+2d$

$=16a-b\left(2a+2c+d\right)-4a+2\left(8-2a\right)$

$=8a-8b+16$

$=8\left(a-b+2\right)$，

$\because F\left(M\right)-K\left(M\right)-4a+4c+2d$是一个自然数的平方，

$\therefore$当自然数是$4$时，$8\left(a-b+2\right)=4^{2}$，即$a=b$，

$\because 1\leqslant a\leqslant 4$，

$\therefore$当$a=3$时，千位数最大为$6$，此时百位数为$3$，十位数为$2$，个位数为$5$，

$\therefore$最大的“拜拜数”是$6325$，

当自然数是$8$时，$8\left(a-b+2\right)=8^{2}$，即$a-b=6$，此时不满足题意；

故答案为：$1276$；$6325$.