$\left(1\right)\because AH\bot x$轴，且$OA=\sqrt{5}$，$AH=\frac{1}{2}HO$，
$\therefore$由勾股定理$AO^{2}=AH^{2}+HO^{2}$，
可化为${AO}^{2}=\frac{1}{4}{HO}^{2}+{HO}^{2}$，
解得$HO=2$，$AH=1$，
$\therefore A$点坐标为$A\left(-2,1\right)$，代入反比例函数的解析式$y=\frac{a}{x}$中，
得$a=-2$，
$\therefore$反比例函数的解析式为$y=\frac{-2}{x}$.
$(2)\because$点$B(\frac{1}{2}，m$）在$y=\frac{-2}{x}$上，
$\therefore B(\frac{1}{2}$，$-4)$，
把$A\left(-2,1\right)$、$B(\frac{1}{2}$，$-4)$代入$y=kx+b$，得$\left\{\begin{array}{l}-2k+b=1\\ \frac{1}{2}k+b=-4\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}k=-2\\ b=-3\end{array}\right.$，
$\therefore$一次函数的解析式为$y=-2x-3$；
$(3)y=-2x-3$中，当$y=0$时，$x=-\frac{3}{2}$；
$\therefore$直线$y=-2x-3$和$x$轴的交点$C$点的坐标为$C(-\frac{3}{2}$，$0)$，
$\therefore OC=\frac{3}{2}$，
$\therefore S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}\times 1+\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}\times 4=\frac{15}{4}$.

$\left(1\right)\because AH\bot x$轴，且$OA=\sqrt{5}$，$AH=\frac{1}{2}HO$，
$\therefore$由勾股定理$AO^{2}=AH^{2}+HO^{2}$，
可化为${AO}^{2}=\frac{1}{4}{HO}^{2}+{HO}^{2}$，
解得$HO=2$，$AH=1$，
$\therefore A$点坐标为$A\left(-2,1\right)$，代入反比例函数的解析式$y=\frac{a}{x}$中，
得$a=-2$，
$\therefore$反比例函数的解析式为$y=\frac{-2}{x}$.
$(2)\because$点$B(\frac{1}{2}，m$）在$y=\frac{-2}{x}$上，
$\therefore B(\frac{1}{2}$，$-4)$，
把$A\left(-2,1\right)$、$B(\frac{1}{2}$，$-4)$代入$y=kx+b$，得$\left\{\begin{array}{l}-2k+b=1\\ \frac{1}{2}k+b=-4\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}k=-2\\ b=-3\end{array}\right.$，
$\therefore$一次函数的解析式为$y=-2x-3$；
$(3)y=-2x-3$中，当$y=0$时，$x=-\frac{3}{2}$；
$\therefore$直线$y=-2x-3$和$x$轴的交点$C$点的坐标为$C(-\frac{3}{2}$，$0)$，
$\therefore OC=\frac{3}{2}$，
$\therefore S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}\times 1+\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}\times 4=\frac{15}{4}$.