$\left(1\right)\because$点$A\left(1,a\right)$在直线$y=2x$上，
$\therefore a=2\times 1=2$，
即点$A$的坐标为$\left(1,2\right)$，
$\because$点$A\left(1,2\right)$是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq 0)$的图象与正比例函数$y=2x$图象的交点，
$\therefore k=1\times 2=2$，
即$k$的值是$2$；
$(2)$由题意得：$\frac{2}{x}=2x$，
解得：$x=1$或$-1$，
经检验$x=1$或$-1$是原方程的解，
$\therefore B\left(-1,-2\right)$，
$\because$点$A\left(1,2\right)$，
$\therefore AB=\sqrt{(1+1)^{2}+(2+2)^{2}}=2\sqrt{5}$，
$\because$菱形$ABCD$是以$AB$、$BC$为边，且$BC$∥$x$轴，
$\therefore AD=AB=2\sqrt{5}$，
$\therefore D(1+2\sqrt{5}$，$2)$.
$\therefore$菱形的面积$=2\sqrt{5}\times \left(2+2\right)=8\sqrt{5}$.

$\left(1\right)\because$点$A\left(1,a\right)$在直线$y=2x$上，
$\therefore a=2\times 1=2$，
即点$A$的坐标为$\left(1,2\right)$，
$\because$点$A\left(1,2\right)$是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq 0)$的图象与正比例函数$y=2x$图象的交点，
$\therefore k=1\times 2=2$，
即$k$的值是$2$；
$(2)$由题意得：$\frac{2}{x}=2x$，
解得：$x=1$或$-1$，
经检验$x=1$或$-1$是原方程的解，
$\therefore B\left(-1,-2\right)$，
$\because$点$A\left(1,2\right)$，
$\therefore AB=\sqrt{(1+1)^{2}+(2+2)^{2}}=2\sqrt{5}$，
$\because$菱形$ABCD$是以$AB$、$BC$为边，且$BC$∥$x$轴，
$\therefore AD=AB=2\sqrt{5}$，
$\therefore D(1+2\sqrt{5}$，$2)$.
$\therefore$菱形的面积$=2\sqrt{5}\times \left(2+2\right)=8\sqrt{5}$.