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九年级数学解答题一般
题目
【问题】如何将物品搬过直角过道?
【情境】如图①是一直角过道示意图,OO、PP为直角顶点,过道宽度都是1.2m1.2m.矩形ABCDABCD是某物品经过该过道时的俯视图,宽ABAB为0.8m0.8m.
【操作】
步骤动作目标
11靠边将如图①中矩形ABCDABCD的一边ADAD靠在SOSO上
22推移矩形ABCDABCD沿SOSO方向推移一定距离,使点OO在边ADAD上
33旋转如图②,将矩形ABCDABCD绕点OO旋转一定的角度
44推移当旋转角达到90∘90^{\circ}时,再将矩形ABCDABCD沿OTOT方向继续推移,则物品通过直角过道
【探究】
(1)(1)如图②,矩形物品ABCDABCD旋转一定的角度后,连结OCOC.测得BC=1.6mBC=1.6m,OD=0.6mOD=0.6m,OC=1mOC=1m,通过计算说明该物品是否能顺利通过直角过道".
(2)(2)如图③,物品转弯时被卡住(C(C、BB分别在墙面PQPQ与PRPR上）,若sin⁡∠BCP=34\sin \angle BCP=\frac{3}{4},求ODOD的长.
【解决问题】直接写出过道可以通过的该物品的最大长度BCBC的值.
知识点：一元二次方程的应用、反比例函数综合题、菱形的判定与性质章节：第6章 反比例函数 / 6.3 反比例函数的应用

答案与解析

答案

（1）不赞同小明的结论，
理由如下：
连接OBOB，OCOC，如图②，
∵\because四边形ABCDABCD是矩形，
∴AD=BC=1.6(m)\therefore AD=BC=1.6\left(m\right)，∠A=90∘\angle A=90^{\circ}，
∴CD=OC2−OD2=0.8(m)\therefore CD=\sqrt{O{C}^{2}-O{D}^{2}}=0.8\left(m\right)，
∵OA=AD−OD\because OA=AD-OD，
∴OA=1.6−0.6=1(m)\therefore OA=1.6-0.6=1\left(m\right)，
∴AB=CD=0.8m\therefore AB=CD=0.8m，
∴OB=OA2+OB2=415>1.2\therefore OB=\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}=\frac{\sqrt{41}}{5} \gt 1.2，
∵\because过道宽度都是1.2m1.2m，
∴\therefore该物品不能顺利通过直角过道；
(2)(2)过点DD作DM⊥OTDM\bot OT，延长MDMD交PQPQ于点NN，如图③，
∵OT\because OT∥PQPQ，
∴DN⊥PQ\therefore DN\bot PQ，
∵∠DCN+∠PCB=90∘\because \angle DCN+\angle PCB=90^{\circ}，∠PCB+∠PBC=90∘\angle PCB+\angle PBC=90^{\circ}，
∴∠DCN=∠CBP\therefore \angle DCN=\angle CBP，
∵sin⁡∠BCP=34\because \sin \angle BCP=\frac{3}{4}，
∴tan⁡∠CBP=73\therefore \tan \angle CBP=\frac{\sqrt{7}}{3}，
∴tan⁡∠DCN=73\therefore \tan \angle DCN=\frac{\sqrt{7}}{3}，
∵tan⁡∠DCN=73=DNCN\because \tan \angle DCN=\frac{\sqrt{7}}{3}=\frac{DN}{CN}，
∴\therefore设DN=7kDN=\sqrt{7}k，则CN=3kCN=3k，
∴CD=4k\therefore CD=4k，
∴4k=0.8\therefore 4k=0.8，
∴k=15\therefore k=\frac{1}{5}.
∴DN=75\therefore DN=\frac{\sqrt{7}}{5}，CN=35CN=\frac{3}{5}，
∴MD=MN−DN=6−75\therefore MD=MN-DN=\frac{6-\sqrt{7}}{5}，
∵∠MDO+∠NDC=90∘\because \angle MDO+\angle NDC=90^{\circ}，∠NDC+∠DCN=90∘\angle NDC+\angle DCN=90^{\circ}，
∴∠MDO=∠DCN\therefore \angle MDO=\angle DCN，
∵∠OMD=∠CND=90∘\because \angle OMD=\angle CND=90^{\circ}，
∴△MDO\therefore \triangle MDO∽△NCD\triangle NCD，
∴MDNC=ODCD\therefore \frac{MD}{NC}=\frac{OD}{CD}，
∴6−7535=OD45\therefore \frac{\frac{6-\sqrt{7}}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{OD}{\frac{4}{5}}，
∴OD=6−73×45=24−4715(m)\therefore OD=\frac{6-\sqrt{7}}{3}\times \frac{4}{5}=\frac{24-4\sqrt{7}}{15}(m)，
∴OD\therefore OD的长为0.9m0.9m，
故答案为：24−4715\frac{24-4\sqrt{7}}{15}；
(3)(3)若求该过道可以通过的物品最大长度，此时点OO为ADAD的中点，
∵OC⊥PQ\because OC\bot PQ，OB⊥PROB\bot PR，OB=OC=1.2mOB=OC=1.2m，
∴OD=OC2−CD2=1．22−0．82=255(m)\therefore OD=\sqrt{O{C}^{2}-C{D}^{2}}=\sqrt{1．{2}^{2}-0．{8}^{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}(m)，
∴AD=2OD=455(m)\therefore AD=2OD=\frac{4\sqrt{5}}{5}(m)，
故可以通过的该物品的最大长度BCBC的值为455\frac{4\sqrt{5}}{5}.

解析

（1）不赞同小明的结论，
理由如下：
连接OBOB，OCOC，如图②，
∵\because四边形ABCDABCD是矩形，
∴AD=BC=1.6(m)\therefore AD=BC=1.6\left(m\right)，∠A=90∘\angle A=90^{\circ}，
∴CD=OC2−OD2=0.8(m)\therefore CD=\sqrt{O{C}^{2}-O{D}^{2}}=0.8\left(m\right)，
∵OA=AD−OD\because OA=AD-OD，
∴OA=1.6−0.6=1(m)\therefore OA=1.6-0.6=1\left(m\right)，
∴AB=CD=0.8m\therefore AB=CD=0.8m，
∴OB=OA2+OB2=415>1.2\therefore OB=\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}=\frac{\sqrt{41}}{5} \gt 1.2，
∵\because过道宽度都是1.2m1.2m，
∴\therefore该物品不能顺利通过直角过道；
(2)(2)过点DD作DM⊥OTDM\bot OT，延长MDMD交PQPQ于点NN，如图③，
∵OT\because OT∥PQPQ，
∴DN⊥PQ\therefore DN\bot PQ，
∵∠DCN+∠PCB=90∘\because \angle DCN+\angle PCB=90^{\circ}，∠PCB+∠PBC=90∘\angle PCB+\angle PBC=90^{\circ}，
∴∠DCN=∠CBP\therefore \angle DCN=\angle CBP，
∵sin⁡∠BCP=34\because \sin \angle BCP=\frac{3}{4}，
∴tan⁡∠CBP=73\therefore \tan \angle CBP=\frac{\sqrt{7}}{3}，
∴tan⁡∠DCN=73\therefore \tan \angle DCN=\frac{\sqrt{7}}{3}，
∵tan⁡∠DCN=73=DNCN\because \tan \angle DCN=\frac{\sqrt{7}}{3}=\frac{DN}{CN}，
∴\therefore设DN=7kDN=\sqrt{7}k，则CN=3kCN=3k，
∴CD=4k\therefore CD=4k，
∴4k=0.8\therefore 4k=0.8，
∴k=15\therefore k=\frac{1}{5}.
∴DN=75\therefore DN=\frac{\sqrt{7}}{5}，CN=35CN=\frac{3}{5}，
∴MD=MN−DN=6−75\therefore MD=MN-DN=\frac{6-\sqrt{7}}{5}，
∵∠MDO+∠NDC=90∘\because \angle MDO+\angle NDC=90^{\circ}，∠NDC+∠DCN=90∘\angle NDC+\angle DCN=90^{\circ}，
∴∠MDO=∠DCN\therefore \angle MDO=\angle DCN，
∵∠OMD=∠CND=90∘\because \angle OMD=\angle CND=90^{\circ}，
∴△MDO\therefore \triangle MDO∽△NCD\triangle NCD，
∴MDNC=ODCD\therefore \frac{MD}{NC}=\frac{OD}{CD}，
∴6−7535=OD45\therefore \frac{\frac{6-\sqrt{7}}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{OD}{\frac{4}{5}}，
∴OD=6−73×45=24−4715(m)\therefore OD=\frac{6-\sqrt{7}}{3}\times \frac{4}{5}=\frac{24-4\sqrt{7}}{15}(m)，
∴OD\therefore OD的长为0.9m0.9m，
故答案为：24−4715\frac{24-4\sqrt{7}}{15}；
(3)(3)若求该过道可以通过的物品最大长度，此时点OO为ADAD的中点，
∵OC⊥PQ\because OC\bot PQ，OB⊥PROB\bot PR，OB=OC=1.2mOB=OC=1.2m，
∴OD=OC2−CD2=1．22−0．82=255(m)\therefore OD=\sqrt{O{C}^{2}-C{D}^{2}}=\sqrt{1．{2}^{2}-0．{8}^{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}(m)，
∴AD=2OD=455(m)\therefore AD=2OD=\frac{4\sqrt{5}}{5}(m)，
故可以通过的该物品的最大长度BCBC的值为455\frac{4\sqrt{5}}{5}.

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