$\left(1\right)\because$点$A(-\frac{3}{2}，0)$在$y=2x+b$图象上，
$\therefore 0=2×(-\frac{3}{2})+b$，
解得，$b=3$，
$\because$点$D$在$y=2x+3$图象上且点$D$的横坐标为$1$，
$\therefore$点$D$坐标为$\left(1,5\right)$，
$\because$点$D$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上，
$\therefore 5=\frac{k}{1}$，
$\therefore k=5$，
$\therefore$一次函数解析式为$y=2x+3$，反比例函数解析式为$y=\frac{5}{x}$；
$(2)$令$2x+3=\frac{5}{x}$，
整理得$2x^{2}+3x-5=0$，
解得$x=1$或$x=-\frac{5}{2}$，
$\therefore E(-\frac{5}{2}$，$-2)$，
观察函数图象知，不等式$2x+b-\frac{k}{x}＜0$的解集$0 \lt x \lt 1$或$x \lt -\frac{5}{2}$；
$(3)\because \angle CEA=\angle DEC$，$\angle ECA=\angle EDC$，
$\therefore \triangle ECA$∽$\triangle EDC$，
$\therefore \frac{EC}{ED}=\frac{EA}{EC}$，
$\therefore EC^{2}=EA\cdot ED$，
$\because E(-\frac{5}{2}$，$-2)$，$A(-\frac{3}{2}$，$0),D\left(1,5\right)$，
$\therefore EA=\sqrt{5}$，$ED=\frac{7\sqrt{5}}{2}$，
$\therefore EC^{2}=\frac{35}{2}$，
设$C\left(m,0\right)$，
$\therefore EC^{2}=(m+\frac{5}{2})+4=\frac{35}{2}$，
解得$m=\frac{-5+3\sqrt{6}}{2}$或$\frac{-5-3\sqrt{6}}{2}$，
$\therefore C$点坐标为（$\frac{-5+3\sqrt{6}}{2}$，$0)$或（$\frac{-5-3\sqrt{6}}{2}$，$0)$.

$\left(1\right)\because$点$A(-\frac{3}{2}，0)$在$y=2x+b$图象上，
$\therefore 0=2×(-\frac{3}{2})+b$，
解得，$b=3$，
$\because$点$D$在$y=2x+3$图象上且点$D$的横坐标为$1$，
$\therefore$点$D$坐标为$\left(1,5\right)$，
$\because$点$D$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上，
$\therefore 5=\frac{k}{1}$，
$\therefore k=5$，
$\therefore$一次函数解析式为$y=2x+3$，反比例函数解析式为$y=\frac{5}{x}$；
$(2)$令$2x+3=\frac{5}{x}$，
整理得$2x^{2}+3x-5=0$，
解得$x=1$或$x=-\frac{5}{2}$，
$\therefore E(-\frac{5}{2}$，$-2)$，
观察函数图象知，不等式$2x+b-\frac{k}{x}＜0$的解集$0 \lt x \lt 1$或$x \lt -\frac{5}{2}$；
$(3)\because \angle CEA=\angle DEC$，$\angle ECA=\angle EDC$，
$\therefore \triangle ECA$∽$\triangle EDC$，
$\therefore \frac{EC}{ED}=\frac{EA}{EC}$，
$\therefore EC^{2}=EA\cdot ED$，
$\because E(-\frac{5}{2}$，$-2)$，$A(-\frac{3}{2}$，$0),D\left(1,5\right)$，
$\therefore EA=\sqrt{5}$，$ED=\frac{7\sqrt{5}}{2}$，
$\therefore EC^{2}=\frac{35}{2}$，
设$C\left(m,0\right)$，
$\therefore EC^{2}=(m+\frac{5}{2})+4=\frac{35}{2}$，
解得$m=\frac{-5+3\sqrt{6}}{2}$或$\frac{-5-3\sqrt{6}}{2}$，
$\therefore C$点坐标为（$\frac{-5+3\sqrt{6}}{2}$，$0)$或（$\frac{-5-3\sqrt{6}}{2}$，$0)$.