如图,在矩形$ABCD$中,$AB=10cm$,$BC=12cm$,点$P$从点$A$开始沿边$AB$向终点$B$以$2cm/s$的速度移动,与此同时,点$Q$从点$B$开始沿边$BC$向终点$C$以$4cm/s$的速度移动.如果$P$,$Q$分别从$A$,$B$同时出发,当点$Q$运动到点$C$时,两点停止运动.设运动时间为$t$秒,$\left(0 \lt t \lt 3\right)$.
$(1)$当$t$为何值时,点$B$在$PQ$的垂直平分线上?
$(2)$当$t$为何值时,$PQ$的长度等于$10cm$?
$(3)$连接$PC$,是否存在$t$的值,使得$\triangle PQC$的面积等于$32cm^{2}$?若存在,请求出此时$t$的值；若不存在,请说明理由.