$\left(1\right)\because$点$P$从点$A$开始沿边$AB$向终点$B$以$2cm/s$的速度移动，与此同时，点$Q$从点$B$开始沿边$BC$向终点$C$以$4cm/s$的速度移动，设运动时间为$t$秒，
$\therefore BQ=4tcm$，$AP=2t cm$，
$\because AB=10cm$，
$\therefore PB=AB-AP=\left(10-2t\right)cm$，
$\because B$在$PQ$的垂直平分线上，
$\therefore PB=BQ$，
$\therefore 10-2t=4t$，
解得$t=\frac{5}{3}$，
$\therefore$当$t=\frac{5}{3}s$时，点$B$在$PQ$的垂直平分线上；
$(2)\because$点$P$从点$A$开始沿边$AB$向终点$B$以$2cm/s$的速度移动，与此同时，点$Q$从点$B$开始沿边$BC$向终点$C$以$4cm/s$的速度移动，设运动时间为$t$秒，
$\therefore BQ=4t cm$，$AP=2t cm$，
$\because AB=10cm$，
$\therefore PB=AB-AP=\left(10-2t\right)cm$，
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore \angle B=90^{\circ}$，
由勾股定理得$PQ^{2}=PB^{2}+BQ^{2}$，
$\therefore \left(10-2t\right)^{2}+\left(4t\right)^{2}=10^{2}$，
解得$t_{1}=0(舍去)$，$t_{2}=2$，
$\therefore$当$t=2$时，$PQ$的长度等于$10cm$；
$(3)$由题意得，$CQ=BC-BQ=\left(12-4t\right)cm$，
$\because \triangle PQC$的面积等于$32cm^{2}$，
$\therefore \frac{1}{2}CQ•PB=32$，
$\therefore \frac{1}{2}(10-2t)(12-4t)=32$，
$\therefore t=1$或$t=7(舍去)$，
$\therefore$当$t=1s$时，使得$\triangle PQC$的面积等于$32cm^{2}$.

$\left(1\right)\because$点$P$从点$A$开始沿边$AB$向终点$B$以$2cm/s$的速度移动，与此同时，点$Q$从点$B$开始沿边$BC$向终点$C$以$4cm/s$的速度移动，设运动时间为$t$秒，
$\therefore BQ=4tcm$，$AP=2t cm$，
$\because AB=10cm$，
$\therefore PB=AB-AP=\left(10-2t\right)cm$，
$\because B$在$PQ$的垂直平分线上，
$\therefore PB=BQ$，
$\therefore 10-2t=4t$，
解得$t=\frac{5}{3}$，
$\therefore$当$t=\frac{5}{3}s$时，点$B$在$PQ$的垂直平分线上；
$(2)\because$点$P$从点$A$开始沿边$AB$向终点$B$以$2cm/s$的速度移动，与此同时，点$Q$从点$B$开始沿边$BC$向终点$C$以$4cm/s$的速度移动，设运动时间为$t$秒，
$\therefore BQ=4t cm$，$AP=2t cm$，
$\because AB=10cm$，
$\therefore PB=AB-AP=\left(10-2t\right)cm$，
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore \angle B=90^{\circ}$，
由勾股定理得$PQ^{2}=PB^{2}+BQ^{2}$，
$\therefore \left(10-2t\right)^{2}+\left(4t\right)^{2}=10^{2}$，
解得$t_{1}=0(舍去)$，$t_{2}=2$，
$\therefore$当$t=2$时，$PQ$的长度等于$10cm$；
$(3)$由题意得，$CQ=BC-BQ=\left(12-4t\right)cm$，
$\because \triangle PQC$的面积等于$32cm^{2}$，
$\therefore \frac{1}{2}CQ•PB=32$，
$\therefore \frac{1}{2}(10-2t)(12-4t)=32$，
$\therefore t=1$或$t=7(舍去)$，
$\therefore$当$t=1s$时，使得$\triangle PQC$的面积等于$32cm^{2}$.